Question

SI EN LA TIERRA PASA UN AÑO Y MEDIO EL MOVIMIENTO DE TRASLACION ¿COMO PUEDO CONOCER EL TIEMPO EN AÑOS TERRESTRES QUE PASA EN CASA PLANETA?

Answer 1

La órbita terrestre se mantiene estable gracias a que se compensan la aceleración centrífuga y la Fuerza Gravitatoria. Pasamos a plantear cada una:

$F_{C} = m_{Tierra}\frac{v^{2} }{r}\\F_{G} = G\frac{m_{sol}.m_{Tierra} }{r^{2} } . \\   v=\frac{2\pi.r }{T}$

Reemplazando e igualando:

$m_{Tierra}.\frac{4\pi ^{2}.r }{T^{2} } = G\frac{m_{Sol}.m_{Tierra}}{r^{2} } \\\frac{4\pi ^{2}.r }{T^{2} } = G\frac{m_{Sol}}{r^{2} } \\\\\frac{4\pi ^{2}. r^{3}}{T^{2} } = Gm_{Sol}\\K= \frac{T^{2} }{r^{3} }$

Ahí dedujimos la Tercera Ley de Kepler por la cual la relación entre el cuadrado del periodo y el cubo de la distancia al Sol es constante en un mismo sistema planetario. Ahora la distancia de la Tierra al Sol es 1,5x10^11 metros, o lo que es lo mismo 1 UA. Recordemos las distancias del Sol a los demás planetas:

Mercurio: 0,39 UA

Venus: 0,72 UA

Marte: 1,52 UA

Júpiter: 5,2 UA

Saturno: 9,54 UA

Urano: 19,2 UA

Neptuno: 30,1 UA.

Ahora tenemos que en la Tierra pasa 1 año y medio, aplicamos la tercera ley de Kepler:

$K = \frac{T^{2} }{r^{3} } = \frac{1,5^{2} }{1^{3} } = 2,25$

Para todos los planetas K vale 2,25, reemplazamos para cada planeta:

$2,25 = \frac{t_{Mercurio}^{2}  }{0,39^{3} } => t_{Mercurio} = \sqrt{2,25.0,39^{3}} =  0,365 anios = 133 dias.\\2,25 = \frac{t_{Venus}^{2}  }{0,72^{3} } => t_{Venus} = \sqrt{2,25.0,72^{3}} =  0,916 anios = 335 dias.\\2,25 = \frac{t_{Marte}^{2}  }{1,52^{3} } => t_{Marte} = \sqrt{2,25.1,52^{3}} =  2,81 anios.\\2,25 = \frac{t_{Jupiter}^{2}  }{5,2^{3} } => t_{Jupiter} = \sqrt{2,25.5,2^{3}} =  17,8 anios.\\2,25 = \frac{t_{Saturno}^{2}  }{9,54^{3} } => t_{Saturno} = \sqrt{2,25.9,51^{3}} =  44,2 anios.$

$2,25 = \frac{t_{Urano}^{2}  }{19,2^{3} } => t_{Saturno} = \sqrt{2,25.19,2^{3}} =  126 anios.\\2,25 = \frac{t_{Neptuno}^{2}  }{30,1^{3} } => t_{Neptuno} = \sqrt{2,25.30,1^{3}} =  248 anios.$