Question

*Resuelva lo que se le pide a continuación dejando constancia de todos sus procedimientos respecto al tema de Átomo de Hidrógeno*

1) El electrón del átomo de hidrógeno inicialmente se encuentra en una posición donde su energía es de -8.72E-20 Jules. Si el fotón tiene una longitud de onda de 70newton-metro, determine la velocidad del electrón cuando sale del átomo de hidrógeno.

2) La velocidad a la cual el electrón sale del átomo de hidrógeno es de 2.1937E06 metro/segundo. Si el fotón tiene una longitud de onda de 90newton-metro, determine la posición inicial a la que se encontraba el electrón.

3) El electrón del átomo de H se encuentra en una posición donde su potencial eléctrico es de 3.77989E-01 V y emite un fotón de 1,094 newton-metro. Calcule n final para el electrón.

4) El electrón del Hidrógeno efectúa una transición en su pozo de potencial, desde una zona de 167.97E-3 V hasta una región que está a 2.1167 Å del núcleo. Calcule el cambio de energía potencial eléctrica del electrón y diga si sube o decae en el pozo de potencial.

Answer 1

La ecuación central a emplear en estos problemas es la fórmula de la energía del fotón, donde h es la constante de Planck y f la frecuencia del fotón:

$E=hf$

Como:

$\lambda f=c$

Donde C es la velocidad de la luz en el vacío y lambda la longitud de onda, queda:

$E=\frac{hc}{\lambda}$

1) Si el electrón es impactado por un fotón de 70nm esta es la energía que recibe:

$E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{6,62x10^{-34}.3x10^8m/s}{70x10^{-9}m}=  2,84x10^{-18}J$

La energía inicial negativa indica que el electrón estaba en un pozo de energía de modo que ahora la energía total es:

$E_{TOT}=E_{f}-E_{i}=2,84x10^{-18}J-0,0872x10^{-18}J=2,75x10^{-18}$

El balance de energía positivo confirma que el electrón logra escapar del átomo. Ahora la velocidad la despejamos de la ecuación de la energía cinética:

$m=9,11x10^{-31}kg\\E=\frac{1}{2}mv^2 \\v=\sqrt{\frac{2E}{m}}= \sqrt{\frac{2.2,75x10^{-18}J}{9,11x10^{-31}kg} } = 2,46x10^6\frac{m}{s}$

2)En este caso hallamos la energía cinética que tiene el electrón:

$E_{c}=\frac{1}{2} mv^2=\frac{1}{2} 9,11x10^{-31}kg.(2,1937x10^{6})^2=2,192x10^{-18}J$

Y la energía que el fotón le había aportado:

$E_{f}=\frac{hc}{\lambda}=\frac{6,62x10^{-34}Js.3x10^8\frac{m}{s}}{90x10^{-9}m}= 2,207x10^{-18}J$

Y la energía inicial era:

$E_{i}=E_{c}-E_{f}=(2,192-2,207)x10^{-18}=-1,5x10^{-20}J$

Ahora suponiendo que toda la energía es energía potencial eléctrica, tenemos que:

$E_{pe}=k\frac{q_{n}q_{e}}{r}$

Siendo qn y qe las cargas del núcleo y del electrón respectivamente, ambas iguales por el principio de neutralidad eléctrica de todo átomo, d la distancia entre las dos cargas y k la constante de la ley de Coulomb en el vacío:

$q_{e}=q_{n}=1,6x10^{-19}C=q\\k=9x10^{9}\frac{Nm^2}{C^2} \\\\E_{pe}=k\frac{q^2}{r}\\r=\frac{kq^2}{E_{pe}}=\frac{9x10^9\frac{Nm^2}{C^2}.(1,6x10^{-19}C)^2 }{1,5x10^{-20}}=  1,54x10^{-8}m.$

Concluyendo que el electrón estaba en una órbita a 15,4nm del núcleo.

3) La energía potencial es:

$E=qV=-1,6x10^{-19}C.0,377989V=-6,048x10^-20J$

Si emitió un fotón de 1,094nm perdió la siguiente cantidad de energía:

$E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{6,626x10^{-34}.3x10^8}{1,094x10^{-9}}= 1,817x10^{-21}J$

Su nueva energía potencial es:

$E=-6,048x10^{-20}-0,1817x10^{-20}=-6,2297x10^{-20}J$

Los niveles de energía siguen la siguiente relación:

$mvr=\frac{nh}{2\pi }$

La distancia al núcleo en la nueva posición es:

$E=qV\\V=\frac{E}{q} =k\frac{q}{r} \\r=\frac{kq^2}{E}= 3,698x10^{-9}m$

Ahora para que se mantenga en la órbita la fuerza centrífuga debe ser igual a la atracción eléctrica. La fuerza de atracción es:

$F=k\frac{q^2}{r^2}=9x10^9\frac{(1,6x10^{-19})^2}{(3,698x10^{-9})^2} = 1,685x10^{-11}N$

Y la fuerza centrífuga, que se tiene que igualar con la eléctrica:

$m\frac{v^2}{r} =F_{e}\\v=\sqrt{\frac{F_{e}r}{m} }=\sqrt{\frac{1,685x10^{-11}.3,698x10^{-9}}{9,11x10^{-31}}} =2,62x10^{5}\frac{m}{s}$

El momento angular es:

$L=mvr=9,11x10^{-31}.2,62x10^5.3,698x10^{-9}=8,826x10^{-34}\frac{kgm}{s}$

En la formula del modelo de bohr reemplazo velocidad y distancia finales:

$L=n\frac{h}{2\pi} \\n=\frac{2\pi L}{h} =\frac{2\pi.8,826x10^{-34}}{6,626x10^{-34}}=8,37$

como n es un número entero:

$n=8$

4) Tengo que:

$2,1167Angstrom=2,1167x10^{-10}m$

El potencial ahí es:

$V=k\frac{q}{r}=9x10^9\frac{Nm^2}{C^2} \frac{1,6x10^{-19}C}{2,1167x10^{-10}m} = 6,8V$

El cambio de energía es:

$\Delta E=q(V_{2}-V_{1})=-1,6x10^{-19}C(6,8V-0,168V)=-1,06x10^{-18}J$

El electrón pasó a un punto de mayor potencial que para el electron significa menor energía potencial, es decir más cerca del núcleo con lo que decayó en el pozo de potencial.