Se realiza un lanzamiento en ángulo de un cohete desde la parte superior de una torre, cuya altura es ho= 50m .A causa del diseño de los motores, sus coordenadas de posición tienen la forma x(t)= A+Bt² y y(t)= C+Dt³, donde A,B,C y D son constantes. Además, la aceleración del cohete 1 s después del lanzamiento es a→=(4.00 i + 3.00 j)m/s². Considere que la base de la torre es el origen de las coordenadas . a) Determine las constantes A,B,C y D, incluyendo sus unidades en el SI. b)En el instante posterior al lanzamiento del cohete, ¿cuáles son sus vectores de aceleración y velocidad? c)¿Cuáles son los componentes X y Y de la velocidad del cohete 10s después del lanzamiento, y qué tan rápido se mueve el cohete? d)¿Cuál es el vector de posición del cohete 10 s después del lanzamiento?
Respuestas
Las constantes A,B,C y D, son : A = 0, B = 2.00m/s², C = 50.0m, D = 0.50m/s³
En el instante posterior al lanzamiento del cohete, sus vectores de aceleración y velocidad son:
x°(t) = 4.00m/s² * t , y°(t) = 1.50m/s³ * t² ... Velocidad
x°°(t) = 4.00m/s² , ÿ(t) = 3.00m/s³ * t ... Aceleración
Los componentes X y Y de la velocidad del cohete 10s después del lanzamiento son: x°(10s) = 40.00m/s , y°(10s) = 150m/s
La rápides con que se mueve el cohete es V = 155.24m/s
El vector de posición del cohete 10 s después del lanzamiento es x(t)= 200.0m, y(10)= 550.0m
Las ecuaciones que nos indican sus coordenadas de posición, se derivan para obtener ecuaciones de sus coordenadas de velocidad y estas se derivan nuevamente para obtener sus coordenadas de aceleración:
x(t)= A+B*t² ... Posición
x°(t) = 2*B*t ... Velocidad
x°°(t) = 2*B ... Aceleración
y(t)= C+Dt³ ... Posición
y°(t) = 3*D*t² ...Velocidad
ÿ(t) = 6*D*t ...Aceleración
Para hallar las constantes, primero evaluamos las ecuaciones de aceleración en t=1s, sustituyendo los datos que nos dan:
x°°(t) = 2*B
x°°(1s) = 2*B = 4.00m/s²
B = 2.00m/s²
ÿ(t) = 6*D*t
ÿ(1s) = 6*D*1s = 3.00m/s²
D = 0.50m/s³
Ahora para hallar las demás constantes, evaluamos las ecuaciones de posición en t=0 e igualamos en los valores iniciales de posición (X=0, Y=50m):
x(t)= A+B*t²
x(0) = A + B*0 = 0
A = 0
y(t)= C+Dt³
y(0) = C + D* 0 = 50m
C = 50.0m
Entonces sustituyendo las constantes, los vectores de posición, velocidad y aceleración son:
x(t)= 2.00m/s² * t² , y(t)= 50.0m+(0.50m/s³ * t³)... Posición
x°(t) = 4.00m/s² * t , y°(t) = 1.50m/s³ * t² ... Velocidad
x°°(t) = 4.00m/s² , ÿ(t) = 3.00m/s³ * t ... Aceleración
Los componentes X y Y de la velocidad del cohete 10s después del lanzamiento se obtienen evaluando la ecuaciones en t=10s
x°(t) = 4.00m/s² * t
x°(10s) = 4.00m/s² * 10s
x°(10s) = 40.00m/s
y°(t) = 1.50m/s³ * t²
y°(10s) = 1.50m/s³ * (10s)²
y°(10s) = 150m/s
La velocidad se calcula asi:
V= √(Vx² + Vy²)
V= √(40.00m/s ² + 150m/s²)
V = 155.24m/s
Los componentes X y Y de la posición del cohete 10s después del lanzamiento se obtienen evaluando la ecuaciones en t=10s:
x(t)= 2.00m/s² * t²
x(10)= 2.00m/s² * (10s)²
x(t)= 200.0m
y(t)= 50.0m+(0.50m/s³ * t³)
y(10)= 50.0m+(0.50m/s³ * (10s)³)
y(10)= 550.0m