En una circunferencia,sabemos que sí radio aumenta a razón de 1cm/s ¿Cuál es la razón de cambio del área de la circunferencia cuando es radio sea igual a 5cm?
Respuestas
La razón de cambio del área es 10π
Para poder resolver esto, simplemente debemos saber la fórmula del área de una circunferencia, que es
A = πr²
Ahora, para determinar su razón de cambio, debemos utilizar la regla de la cadena, que es
dA/dt = πd(r²)dt = π2r(dr/dt)
Ahora, como sabemos que dr/dt = 1, entonces
dA/dt = 2πr
Ahora, si hacemos r = 5, vemos que la razón de cambio del área es 10π
La razón de cambio del área de la circunferencia cuando el radio es igual a 5 cm y aumenta a razón de 1 cm/s, es de 10·π cm²/s.
¿Qué es una razón de cambio?
Una razón de cambio es el cambio que ocurre en una variable dependiente producto de las variaciones en la variable independiente, y se calcula por medio de la derivación.
Generalmente, las razones de cambio involucran variables implicitas, por ejemplo, el caso estudio involucra las razones de cambio del área y el radio de la circunferencia con respecto al tiempo. El tiempo es la variable independiente y es implícita.
La función que nos permite calcular el área (A) de una circunferencia de radio (R) es:
A = π·R²
La razón de cambio del área viene dada por la derivada implícita con respecto al tiempo (t)
dA/dt = 2·π·R·dR/dt
Sustituimos los valores de R y dR/dt
dA/dt = 2·π·(5 cm)·(1 cm/s) = 10·π cm²/s
La razón de cambio del área de la circunferencia cuando el radio es igual a 5 cm y aumenta a razón de 1 cm/s, es de 10·π cm²/s.
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