Question

¿Alguien podría explicarme cómo resolver esta ecuación? ))':

[ ( a² - b² ) x - 1 ]² + 2 ( abx - 1 )² = [ ( a² + b² ) x + 1 ]²​

Answer 1

El resultado de resolver esta operación es:

$x=\frac{1}{4a\left(a+b\right)}$

Explicación paso a paso

Expresión original:

$\left(\left(a^2-b^2\right)x-1\right)^2+\left(2abx-1\right)^2=\left(\left(a^2+b^2\right)x+1\right)^2$

Desarrollamos la expresión del lado izquierdo de la igualdad:

$\left(\left(a^2-b^2\right)x-1\right)^2+\left(2abx-1\right)^2$

Realizar la expansión de $\left(a^2-b^2\right)x-1$:

$=\left(a^2x-b^2x-1\right)^2+\left(2abx-1\right)^2$

$=\left(a^2x-b^2x-1\right)\left(a^2x-b^2x-1\right)+\left(2abx-1\right)^2$

Luego, se realiza la expansión de $\left(2abx-1\right)^2$:

$= \left(a^2x-b^2x-1\right)\left(a^2x-b^2x-1\right)+ \left(2abx\right)^2-2\cdot \:2abx\cdot \:1+1^2$

Se simplifica:

$=\left(a^2x-b^2x-1\right)\left(a^2x-b^2x-1\right)+4a^2b^2x^2-4abx+1$

Ahora, expandimos el término $\left(a^2x-b^2x-1\right)\left(a^2x-b^2x-1\right)$ y simplificamos:

$= a^4x^2+b^4x^2+2a^2b^2x^2+2b^2x-2a^2x-4abx+2$

Por lo tanto, hasta los momentos, tenemos:

$a^4x^2+b^4x^2+2a^2b^2x^2+2b^2x-2a^2x-4abx+2 = \left(\left(a^2+b^2\right)x+1\right)^2$

Ahora, desarrollaremos el término que está del lado derecho de la igualdad

$\left(\left(a^2+b^2\right)x+1\right)^2$

Primero expandiremos el término $\left(a^2+b^2\right)x+1$, de lo que resulta:

$=a^4x^2+2a^2x+2a^2b^2x^2+b^4x^2+2b^2x+1$

Finalmente,

$a^4x^2+b^4x^2+2a^2b^2x^2+2b^2x-2a^2x-4abx+2 = a^4x^2+2a^2x+2a^2b^2x^2+b^4x^2+2b^2x+1$

Aplicando suma y resta de términos semejantes y reorganizando la expresión, nos queda:

$-4a^2x-4abx=-1$

De lo cual, podemos decir que:

$x=\frac{1}{4a\left(a+b\right)}$