Question

calcula el volumen de:​



ayúdame con esta tarea por favor.

Answer 1

Respuesta:

El volumen de ese tronco de pirámide es:

$370 \sqrt{3} \: \: cm {}^{3}$

Forma alternativa:

$640.86 \: \: cm {}^{3} \: aprox.$

Explicación paso a paso:

Lo que tienes allí es un tronco de pirámide hexagonal, es decir, una pirámide cuya base es un hexágono cortada.

La formula del volumen de una pirámide es:

$v = \frac{ab \times h}{3}$

ab=area de la base

h=altura

En el caso de un tronco de pirámide la fórmula sigue casi igual, la altura por el área de la base entre tres, pero el área de la base es la media heroiniana de las dos bases.

La media heroiniana es una media ponderada de su media aritmética y su media geométrica.

Entonces la fórmula quedaría como:

$v = \frac{h(ab)}{3}$

$v = \frac{h(b1 + b2 + \sqrt{b1 \times b2}) }{3}$

b1=area de una de las bases

b2=area de otra base

La altura es 5 cm.

Procedamos a encontrar el área b2, que será el hexágono de arriba.

La distancia del vértice al centro es 6 cm, construyamos un triangulo equilatero imaginario entre los dos vértices del lado y el centro. La altura de ese triangulo sería el apotema, que la necesitamos para hallar el área.

Encontremos la altura de ese triangulo, dividiendo el triangulo por la mitad, quedándonos un triangulo rectángulo y hallando la altura por teorema de pitagoras.

La hipotenusa de ese triangulo mediría 6 cm, ya que antes era un triangulo equilatero en el que todos los lados median 6.

El otro cateto de ese triangulo es 6/2=3 cm, porque ese lado del triangulo equilatero media 6 cm, pero lo dividimos por la mitad.

a=apotema

$a = \sqrt{6 {}^{2} - 3 {}^{2} }$

$a = \sqrt{36 - 9}$

$a = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \: cm$

Ahora encontramos el área del hexágono (b2) sabiendo que el apotema mide (3 raíz de 3 cm).

El perimetro mide (6×6=36 cm), porque antes formamos un triangulo equilatero y vimos que el lado del hexágono valía 6 cm, y al ser un hexágono, supongo que regular, el perimetro será el resultado de multiplicar 6 por la medida del lado, en este caso 6 cm.

$b2 = \frac{p \times a}{2}$

$b2 = \frac{36 \times 3 \sqrt{3} }{2}$

$b2 = \frac{108 \sqrt{ 3} }{2}$

$b2 = 54 \sqrt{3} \: cm {}^{2}$

Ya tenemos b2, ahora procedamos a encontrar b1 (el hexágono de abajo):

La distancia del vértice al centro es 8 cm, construyamos un triangulo equilatero imaginario entre los dos vértices del lado y el centro. La altura de ese triangulo sería el apotema, que la necesitamos para hallar el área.

Encontremos la altura de ese triangulo, dividiendo el triangulo por la mitad, quedándonos un triangulo rectángulo y hallando la altura por teorema de pitagoras.

La hipotenusa de ese triangulo mediría 8 cm, ya que antes era un triangulo equilatero en el que todos los lados median 8.

El otro cateto de ese triangulo es 8/2= 4 cm, porque ese lado del triangulo equilatero media 8 cm, pero lo dividimos por la mitad.

a=apotema

$a = \sqrt{8 {}^{2} - 4 {}^{2} }$

$a = \sqrt{64 - 16}$

$a = \sqrt{48}$

$a = 4 \sqrt{3} \: cm$

Ahora encontramos el área del hexágono (b1) sabiendo que el apotema mide (4 raíz de 3 cm).

El perimetro mide (6×8=48 cm), porque antes formamos un triangulo equilatero y vimos que el lado del hexágono valía 8 cm, y al ser un hexágono, supongo que regular, el perimetro será el resultado de multiplicar 6 por la medida del lado, en este caso 8 cm.

$b1 = \frac{p \times a}{2}$

$b1 = \frac{48 \times 4 \sqrt{3} }{2}$

$b1 = 96 \sqrt{3} \: cm {}^{2}$

Ahora que tenemos la medida de la altura y el área de las bases encontramos el volumen del tronco de pirámide con la fórmula del principio:

$v = \frac{h(b1 + b2 + \sqrt{b1 \times b2} )}{3}$

$v = \frac{5(54 \sqrt{3} + 96 \sqrt{3} + \sqrt{(96 \sqrt{3})(54 \sqrt{3}) } )}{3}$

$v = \frac{5(150 \sqrt{3} + { \sqrt{15552} )} }{3}$

$v = \frac{5(150 \sqrt{3} + 72 \sqrt{3} )}{3}$

$v = \frac{5(222 \sqrt{3}) }{3}$

$v = \frac{1110 \sqrt{3} }{3}$

$v = 370 \sqrt{3} \: cm {}^{3}$

$v = 640.86 \: cm {}^{3} \: aprox.$