Question

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución. Ejercicio a. ∫▒dt/(〖cos〗^2 (t)√(1+tan⁡(t))) dx

Answer 1

$\bold{ \int {\frac{1}{Cos^{2}(t) \sqrt{1+Tan(t)}}}\,dt=2 \sqrt{1+Tan(t)}+C}$

Explicación paso a paso:

$\bold{ \int {\frac{1}{Cos^{2}(t) \sqrt{1+Tan(t)}}}\,dt}$

En primer lugar aplicamos una identidad trigonométrica para ver de manera explícita la derivada de la función tangente en el integrando y se resuelve por el método de sustitución o cambio de variable simple:

$\int{\frac{1}{Cos^{2}(t) \sqrt{1+Tan(t)}}}\,dt=\int{\frac{Sec^{2}(t)}{\sqrt{1+Tan(t)}}}\,dt$

Llamamos       u  =  1  +  Tan(t)                du  =  Sec²(t) dt

$\int{\frac{Sec^{2}(t)}{\sqrt{1+Tan(t)}}}\,dt=\int{\frac{1}{\sqrt{u}}}\,du=\int{\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}}\,du \qquad \Rightarrow$

$\int{\frac{Sec^{2}(t)}{\sqrt{1+Tan(t)}}}\,dt=\int{u^{-\frac{1}{2}}}\,du=\frac{ u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C \qquad \Rightarrow$

$\int{\frac{Sec^{2}(t)}{\sqrt{1+Tan(t)}}}\,dt =\frac{ u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{ u}+C$

Finalmente se “regresa” el cambio de variable:

$\bold{ \int {\frac{1}{Cos^{2}(t) \sqrt{1+Tan(t)}}}\,dt=2 \sqrt{1+Tan(t)}+C}$