Question

a) Le entregan un cubo de plata metálica que mide 1.000 cm por lado. La densidad de la plata es de 10.5 g/cm3. ¿Cuántos átomos hay en el cubo?
b) Debido a que los átomos tienen forma esférica, no pueden ocupar todo el espacio del cubo. Los átomos de plata se empacan en el sólido de tal manera que, en realidad, el 74% del volumen del sólido está lleno con átomos de plata. Calcule el volumen de un solo átomo de plata.
c) Usando el volumen de un átomo de plata y la fórmula del volumen de una esfera, calcule el radio de un átomo de plata en angstroms (Å).

Answer 1

Debemos recordar que la densidad está relacionada con el volumen (d = m/v), y éste, cuando se refiere a una esfera, se relaciona con el radio atómico de la siguiente manera: $v = \frac{4  \pi r^{3}  }{3}$. Y por último, de la tabla periódica sacamos que un mol de átomos de plata (6,02 . 10²³ átomos) pesa 107,87 g.

a) El volumen de un cubo se calcula como V = l³, donde l es el lado, por lo tanto,

V = (1 cm)³ = 1 cm³

A su vez, d = m/v → d.v = m = 10,5 g/cm³ . 1 cm³ = 10,5 g

Como la masa de 107,87 gramos corresponde al número de Avogadro de átomos de Ag, en la masa calculada anteriormente habrá:

107,87 g ------ 6,02 . 10²³ átomos de plata

10,5 g --------- x = 5,86 . 10²² átomos de plata

El cubo contiene 5,86 . 10²² átomos de plata

b) Debido a que el volumen ocupado por los átomos de plata es el 74% del volumen del cubo,

100 % volumen ------ 1 cm³

74 % volumen ----- x = 0,74 cm³ → contiene 5,86 . 10²² átomos de plata

5,86 . 10²² átomos de plata ----- 0,74 cm³

1 átomo de plata ----- x = 1,26 . 10⁻²³ cm³

Un átomo de plata tiene un volumen de 1,26 . 10⁻²³ cm³

c) Debido a que el volumen de un átomo de plata es 1,26 . 10⁻²³ cm³ y a que éste puede ser tratado como una esfera, despejamos el radio de la fórmula del volumen de una esfera:

$V = \frac{4\pi r^{3} }{3}$ →  r = ∛(3 V/4π)

$r = \sqrt[3]{\frac{3 . 1,26 . 10^{-23} cm^{3}  }{4 \pi } } = 1,44 . 10^{-8} cm^{3}$

Como 1 A = 1 . 10⁻⁸ cm,

$1,44 . 10^{-8} cm . \frac{1 A}{1 . 10^{-8} cm }$ = 1,44 A

El radio de un átomo de plata es de 1,44 A.