Question

Una bola de acero que pende de un resorte elástico se desplaza con una aceleración a= -7x (m/s2) y tiene una velocidad inicial v0= 3 (m/s) hacia arriba. Considere que el movimiento de la bola parte del origen. a) Determine la velocidad de la bola de acero en función de su posición. b) Determine la posición de la bola de acero a los 4 segundos.

Answer 1

Este ejercicio aplica la definición de velocidad y aceleración:

$a=\frac{dv}{dt}\\ v=\int\limits {a} \, dt$

Reemplazando por la ecuación de aceleración tengo:

$v=\int\limits {-7x} \, dt = -7xt + C$

SI la velocidad inicial es 3m/s tengo:

$v(x,t) = -7xt+3m/s$

La posición es:

$x=\int\limits {v} \, dt = \int\limits {-7xt+3 } \, dt=-\frac{7}{2}xt^{2}+3t\\x(1+\frac{7}{2}t^{2} )=3t\\x=\frac{3t}{1+\frac{7}{2}t^{2}}=\frac{6t}{2+7t^{2}}$

Para eliminar la variable t:

$x(1+\frac{7}{2}t^{2} )=3t\\x+x\frac{7}{2}t^{2}=3t\\x=t(3-x\frac{7}{2}t)=t(3+\frac{v}{2} )\\t=\frac{x}{3+\frac{v}{2}} =\frac{2x}{6+v}$

Tengo que:

$v=-7xt+3\\v=-7\frac{2x^{2}}{6+v}+3\\(v-3)(v+6)=-14x^{2}\\v^{2} +3v -18 +14x^2=0$

Queda una ecuación cuadrática.

$v=\frac{-3\±\sqrt{9-4(14x^{2}-18)} }{2} =\frac{-3\±\sqrt{81-56x^{2}} }{2}$

Siendo esta la ecuación que relaciona velocidad con posición.

b) Voy a la fórmula que obtuve para hallar posición en el tiempo:

$x=\frac{6t}{2+7t^{2}} = \frac{6.4}{2+7.4^{2}}=\frac{24}{114}= 0,21m$