Question

La profundidad P de un río en metros varía dependiendo de la hora del día, como se muestra en la siguiente expresión P = 3sen[πt - 4π/6] + 8, con 0 ≤ t ≤ 24, t = 0, para las 12 p.m; t = 1 corresponde la 1 a.m (p.48): 375. ¿Qué profundidad tendrá el río a las 5 a.m y a las 5 p.m? 376. ¿A qué hora la profundidad será de 8 m y 10 m? 377. ¿Cuál será la profundidad del río a las 12 p.m, si la expresión cambia a a = 3sen[πt - 2π/3] + 8?

Answer 1

Se trata de determinar la Profundidad de un Río a diferentes horas del día mediante una expresión trigonométrica dada.

Datos:

P = 3 Sen [πt - 4π/6] + 8, ∀ 0 ≤ t ≤ 24

Se parte del principio que cuando t = 0 es la medianoche (0:00 horas = 12 am)

• ¿Qué profundidad tendrá el río a las 5 am y a las 5 p.m?

Se ingresa el tiempo “t” en la fórmula para obtener la profundidad (P) a esa hora específicamente.

Para cuando son las 5 am se tiene “t = 5”

P = 3 Sen [π5 - 4π/6] + 8

Resolviendo.

P = 3 Sen [(30π - 4π)/6] + 8

P = 3 Sen [(26π)/6] + 8

P = 3 Sen [(13π)/3] + 8

P = Sen (13π) + 8

P = Sen (2.340) + 8

P = 0 + 8

P = 8 metros

Cuando son las 5 pm se tiene que “t = 17”

P = 3 Sen [π17 - 4π/6] + 8

Resolviendo.

P = 3 Sen [(102π - 4π)/6] + 8

P = 3 Sen [(98π)/6] + 8

P = 3 Sen [(49π)/3] + 8

P = Sen (49π) + 8

P = Sen (8.820) + 8

P = 0 + 8

P = 8 metros

Tienen la misma profundidad en esas horas.

• ¿A qué hora la profundidad será de 8 m y 10 m?  

Para esto se debe despeja el tiempo “t” de la fórmula.

P = 3 Sen [πt - 4π/6] + 8

(P – 8)/3 = Sen (πt - 4π/6)

(P – 8)/3 = Sen πt – Sen 4π/6

(P – 8)/3 + Sen 4π/6 = Sen πt

Sen t = [(P – 8)/3 + Sen 4π/6]/π

t = ArcSen [(P – 8)/3 + Sen 4π/6]/π

Para una profundidad de 10 metros se tiene:

t = ArcSen [(10 – 8)/3 + Sen 4π/6]/π

t = ArcSen [2/3 + Sen 4π/6]/π

t = ArcSen [(4 + Sen 4π)/6]/π

t = ArcSen [(4 + Sen 720)/6]/180

t = ArcSen [(4 + 0)/6]/180

t = ArcSen [4/6]/180

t = ArcSen [2/3]/180

t = ArcSen (2/540)

t = ArcSen (1/270)

t = 0,2122 horas

Para una profundidad de 8 metros se tiene:

t = ArcSen [(8 – 8)/3 + Sen 4π/6]/π

t = ArcSen [0 + Sen 4π/6]/π

t = ArcSen [Sen (4π/6)]/π

t = ArcSen (0,8660)/180

t = ArcSen 0,00481

t = 0,2756 horas

• ¿Cuál será la profundidad del río a las 12 p.m, si la expresión cambia P = 3sen[πt - 2π/3] + 8?

Las 12 pm es el mediodía, es decir, las 12 horas, por l oque la profundidad será:

P = 3 Sen [π12 - 4π/6] + 8

Resolviendo.

P = 3 Sen [(72π - 4π)/6] + 8

P = 3 Sen [(68π)/6] + 8

P = 3 Sen [(34π)/3] + 8

P = Sen (34π) + 8

P = Sen (6.120) + 8

P = 0 + 8

P = 8 metros