Question

Un proyectil de 400 kg parte del origen con
una velocidad inicial de 100 m/s. Si se quiere que impacte en un objetivo a 1000m de distancia y 25 m
arriba del punto del disparo, determine las dos direcciones en que puede dispararse para lograrlo. Considere despreciable la resistencia del aire.

Answer 1

Empezamos planteando las ecuaciones del tiro oblícuo con referencia en el origen de modo que son cero las posiciones iniciales en x e y:

$x=x_{0}+v_{0}.cos(\alpha )t=v.cos(\alpha)t\\y=y_{0}+v_{0}.sen(\alpha)t-\frac{1}{2}gt^{2}=v_{0}.sen(\alpha)t-\frac{1}{2}gt^{2}$

Nos dan la posición final en x, que es 1000m, entonces es:

$x_{f}=v_{o}.cos(\alpha).t\\\\t=\frac{x_{f}}{v_{0}.cos(\alpha)}$

Sustituimos en la ecuación de y:

$y_{f}=v_{0}.sen(\alpha).(\frac{x_{f}}{cos(\alpha)})-\frac{1}{2}g(\frac{x_{f}}{v_{0}cos(\alpha)})^{2}\\\\y_{f}=v_{0}x_{f}tg(\alpha)-\frac{1}{2}g\frac{x_{f}^{2}}{v_{0}^{2}cos^{2}(\alpha)}$

Usamos la siguiente identidad:

$tg^{2}(\alpha )=\frac{sen^{2}(\alpha )}{cos^{2}(\alpha )} =\frac{1-cos^{2}(\alpha )}{cos^{2}(\alpha )}=\frac{1}{cos^{2}(\alpha )}-1\\cos^{2}(\alpha )=\frac{1}{1+tg^{2}(\alpha )}$

Queda:

$y_{f}=v_{0}x_{f}tg(\alpha)-\frac{1}{2}g\frac{x_{f}^{2}}{v_{0}}(1+tg^{2}(\alpha))\\y_{f}=v_{0}^{2}x_{f}tg(\alpha)-\frac{1}{2}gx_{f}^{2}-\frac{1}{2}gx_{f}^{2}tg^{2}(\alpha)\\0=v_{0}^{2}x_{f}tg(\alpha)-\frac{1}{2}gx_{f}^{2}-y_{f}-\frac{1}{2}gx_{f}^{2}tg^{2}(\alpha)$

Tenemos que resolver la ecuación cuadrática, reemplazando:

$0=1x10^{7}tg(\alpha)-5x10^{6}-25-5x10^{6}tg^{2}(\alpha)$

Consideramos el 25 despreciable frente a toda la ecuación:

$0=1x10^{7}tg(\alpha)-5x10^{6}-5x10^{6}tg^{2}(\alpha)\\0=10tg(\alpha)-5-5tg^{2}(\alpha)\\0=2tg(\alpha)-1-1tg^{2}(\alpha)$

Resolviendo:

$tg(\alpha )=\frac{-2\±\sqrt{2^{2}-4.(-1).(-1)} }{-2} =1$

$\alpha =arctg(1)=45\°$

Este es el ángulo, si se toma en cuenta el 25 que se despreció antes darán dos ángulos muy cercanos entre sí y a 45°.