Question

Multiplicadores de Lagrange. Sabiendo que Para determinar los valores extremos de la función z=f(x,y) bajo la condición g(x,y) se debe solucionar el sistema ⎧⎩⎨⎪⎪fx(x,y)=λgy(x,y)fy(x,y)=λgy(x,y)g(x,y)=0 y con los puntos encontrados, evaluar en f(x,y) para identificar los valores extremos. Determinar el máximo y el mínimo valor de la función f(x,y)=xy bajo la condición 4x2+y2=8 Seleccione una:

a. Máximo vale 1.00 ; Mínimo vale -1.00

b. Máximo vale 2 ; Mínimo vale -2

c. Máximo vale 1 ; Mínimo vale -1

d. Máximo vale 2 ; Mínimo vale 1

Answer 1

Función a optimizar: f(x,y) = xy

función de enlace: g(x,y)=4x²+y²-8=0

Resolución.

1. Función de Lagrange:

                     $L(x,y)=xy-\lambda (4x^2+y^2-8)$

2. Hallamos los puntos críticos de la función de Lagrange

$L_x=y-\lambda(8x)=0\\L_y=x-\lambda (2y)=0\\L_\lambda=-(4x^2+y^2-8)=0\\ \\\text{Resolvalmos }:\\\\\lambda=\dfrac{y}{8x}=\dfrac{x}{2y}\to 4x^2=y^2\to y=\pm2|x|\\ \\\\\text{Remplacemoslo en la ecuaci\'on de enlace}\\\\4x^2+(\pm2|x|)^2=8\to x=\pm1\to y=\pm2 \\ \\\\\text{Los puntos estacionarios son:}\\\\(x,y,\lambda)=\{(-1,-2,\frac{1}{4}),(-1,2,-\frac{1}{4}),(1,-2,-\frac{1}{4}),(1,2,\frac{1}{4})\}$

3. Hallemos las segundas derivadas

$L_x=y-\lambda(8x)=0\\L_y=x-\lambda (2y)=0\\ \\\\L_{xx}=-8\lambda\\L_{xy}=1\\L_{yy}=-2\lambda\\\\\text{Por el criterio de la matriz Hessiana:}\\\\\Delta_1=L_{xx}=-8\lambda\\\Delta_2=L_{xx}L_{yy}-(L_{xy})^2=16\lambda^2-1\to \Delta_2=0$

Entonces con este criterio no podemos afirmar sobre los extremos, pero el teorema de Weierstrass afirma que hay mínimo

$sea~~ W(x,y)=x^2y^2\to W(x)=x^2(8-4x^2)=8x^2-4x^4\\\\W'=16x-16x^3=0\to x(1-x^2)=0\to x\in\{-1,0,1\}\\W''=16-48x^2\\\\W''(\pm1)=-32<0\\W''(0)=16>0\to W_{max}=4\to f_{max}=2\to f_{min}=-2$