Question

Se realiza un lanzamiento en ángulo de un cohete desde la parte superior de una torre, cuya altura es ho= 50m .A causa del diseño de los motores, sus coordenadas de posición tienen la forma x(t)= A+Bt² y y(t)= C+Dt³, donde A,B,C y D son constantes. Además, la aceleración del cohete 1 s después del lanzamiento es a→=(4.00 i + 3.00 j)m/s².
Considere que la base de la torre es el origen de las coordenadas .
a) Determine las constantes A,B,C y D, incluyendo sus unidades en el SI.
b)En el instante posterior al lanzamiento del cohete, ¿cuáles son sus vectores de aceleración y velocidad?
c)¿Cuáles son los componentes X y Y de la velocidad del cohete 10s después del lanzamiento, y qué tan rápido se mueve el cohete?
d)¿Cuál es el vector de posición del cohete 10 s después del lanzamiento?

Answer 1

Empezamos a analizar el movimiento que realiza el cohete planteando las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración, con el punto de lanzamiento como referencia. Las ecuaciones de posición son:

$x(t)=A+Bt^{2}\\y(t)=C+Dt^{3}$

Las de velocidad:

$v_{x}=\frac{dx}{dt}=2Bt\\v_{y}=\frac{dy}{dt}=3Dt^{2}$

Y las de aceleración.

$a_{x}=\frac{dv_{x}}{dt}=2B\\a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt}=6Dt$

a) Tenemos:

$a_{x}=4\frac{m}{s^{2}}; a_{y}=3\frac{m}{s^{2}}$

Con lo que:

$a_{x}=2B\\4\frac{m}{s^{2}}=2B\\B=2\frac{m}{s^{2}}\\\\a_{y}=3\frac{m}{s^{2}}\\3\frac{m}{s^{2}}=6Dt=6Dt(1s)\\D=\frac{3\frac{m}{s^{2}}}{6s}= 0,5\frac{m}{s^{3}}$

Si la posición inicial, es decir con t=0 es (0,50m) tengo:

$0=A+Bt^2=A+B.0\\A=0\\50m=C+Dt^{3}=c+D.0\\C=50m.$

Ahí tengo las 4 constantes.

$A=0;B=2\frac{m}{s^{2}};C=50m;D=0,5\frac{m}{s^{3}}$

b) En las ecuaciones halladas al principio tengo:

$v_{x0}=2Bt=2B.0=0\\v_{y0}=3Dt^{2}=3D.0=0\\\\a_{x0}=2B=2.2\frac{m}{s^{2}}=4\frac{m}{s^{2}}\\a_{y0}=6Dt=6D.0=0\\\\v(x,y)=(0i+0j)\frac{m}{s} \\a(x,y)=(4i+0j)\frac{m}{s^{2}}$

c) 10 segundos después del lanzamiento las coordenadas de la velocidad son:

$v_{x}(10s)=2Bt = 2.2\frac{m}{s^{2}}.10s=40\frac{m}{s}\\v_{y}(10s)= 3Dt^{2}=3.0,5\frac{m}{s^{3}}.(10s)^{2}=150\frac{m}{s}$

Y el módulo de la velocidad:

$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} =\sqrt{40^2+150^2}= 155\frac{m}{s}$

d) El vector de posición del cohete lo hallamos de acuerdo a las ecuaciones de posición obtenidas

$x(t)=A+Bt^{2}=0+2\frac{m}{s^2}.(10s)^2=200m.\\y(t)=C+Dt^{3}=50m. + 0,5\frac{m}{s^3}.(10s)^3=550m.\\\\P=(200i+550j)m.$