Question

Porque el volumen de una pirámide regular es la tercera parte del prisma de la misma base y altura

Answer 1

Vamos a comparar el volumen de una pirámide regular con el de un prisma de la misma base y altura para llegar a tal conclusión.

Sea un prisma de base A y altura h, el volumen es:

$V=A.h$

Ahora hallemos el volumen de la pirámide. En todo polígono regular el área es una función del lado al cuadrado de modo que:

$A=kl^{2}$

Y si uno corta la pirámide con un plano paralelo a la base, hay un polígono distinto para cada valor de z (la intersección entre la pirámide y el plano), el lado de ese polígono se va encogiendo linealmente desde l en la base hasta 0 en la cúspide (para simplificar cálculos ponemos la cúspide en el origen), tenemos, siendo m la longitud del lado:

$m(0) =0\\m(h)=l\\m(z)=b.z\\l=b.h\\b=\frac{l}{h} \\m(z)=\frac{l}{h}z$

Y el área del polígono cuyo lado es m es:

$A(z)=k(m(z))^{2}=k\frac{l^{2}}{h^{2}} z^{2}$

Ahora podemos ver el volumen de la pirámide como la suma de los volúmenes de muchos prismas apilados uno sobre otro cuya altura es infinitesimal y es dz, y cuya área sigue la ley de variación anterior, tenemos:

$dV=A(z)dz=k\frac{l^{2}}{h^{2}} z^{2}dz$

El volumen es:

$V=\int\limits^0_h {k\frac{l^{2}}{h^{2}} z^{2}} \, dz =k\frac{l^{2}}{h^{2}}\frac{h^{3}}{3}$

Simplificando:

$V=kl^{2}\frac{h}{3} = \frac{Ah}{3}$

Donde A es el área de la base. Ahí es donde concluímos que el volumen de una pirámide regular es un tercio del de un prisma de igual base y altura.