Un tren del metro tarda 2 minutos en ir desde una estación A a una B. Parte de A con una aceleración constante hasta recorrer una distancia d1, luego mantiene constante la velocidad mientras recorre una distancia d2,luego frena uniformemente hasta detenerse en B,recorriendo,durante el frenado,una distancia d3. La velocidad máxima alcanzada en el recorrido es de 48 km/h y las distancias d1, d2 y d3 son iguales. (a) Determine el intervalo de tiempo (∆t1) durante el cual el tren acelera. (b) El intervalo de tiempo (∆t2) mientras se mueve con velocidad constante. (c) El intervalo de tiempo (∆t3) durante el cual frena. (d) La distancia entre las dos estaciones
Respuestas
El intervalo de tiempo (∆t1) durante el cual el tren acelera es igual a t= 48s. El intervalo de tiempo (∆t2) mientras se mueve con velocidad constante es igual a t= 24s
El intervalo de tiempo (∆t3) durante el cual frena es igual a t= 48s
La distancia entre las dos estaciones es igual a D = 960m
Vamos a aclarar los datos disponibles según el enunciado del problema:
Tenemos tres tramos entre la estación A y la estación B, la longitud de cada tramos es la misma, es una incógnita y la vamos a llamar "d"
En el primer tramo el movimiento es MRUV, la velocidad inicial es Vo = 0, la velocidad final es Vf = 48 Km/h = 13.33m/s , la aceleración es una incógnita "a1", el tiempo que tarda el tren en recorrerlo es otra incógnita "t1"
El segundo tramo lo recorre el tren a una velocidad constante (MRU) V=48m/s, el tiempo que tarda el tren en recorrerlo es incógnita "t2"
El tercer tramo el movimiento es MRUV, la velocidad inicial es Vo = 13.33m/s, la velocidad final el Vf = 0, la aceleración es contraria a la velocidad y es una incógnita "a3", el tiempo que tarda el tren en recorrerlo es incógnita "t3"
Por ultimo se conoce que la suma: t1+t2+t3 = 120s
En el primer tramo planteamos las siguientes ecuaciones:
- d = Vo* t + (1/2) * a * t²
- d = 0 + 0.5 * a1 * t1²
- 1) d = 0.5 * a1 * t1²
- Vf = Vo + a * t
- 13.33m/s = 0 + a1 * t1
- 4) t1 = 13.33m/s / a1
En el segundo tramo por ser MRU :
- d = V * t
- d = 13.33m/s * t2
- 2) t2 = d / 13.33m/s
En el tercer tramo:
- d = Vo* t - (1/2) * a * t²
- 3) d = (13.33m/s * t3) - (0.5 * a3 * t3²)
- Vf = Vo - a * t
- 0 = 13.33m/s - a3 * t3
- 5) t3 = 13.33m/s / a3
Se sustituye ecuación 4) en ecuación 1) y ecuación 5) en ecuación 3), luego se iguala ecuación 1) y ecuación 3):
- 0.5 * a1 * (13.33m/s / a1)² = (13.33m/s * (13.33m/s / a3)) - (0.5 * a3 * (13.33m/s / a3 )²)
- 88.89m²/s² / a1 = 177.78m²/s² / a3 - 88.89m²/s² / a3
- 88.89m²/s² / a1 = 88.89m²/s² / a3
- 1 /a1 = 1 / a3
- a1 = a3 = a
Sustituimos este resultado en la ecuación 4 y en la ecuación 5) e igualamos ambas ecuaciones:
- t1 = 13.33m/s / a1 , t3 = 13.33m/s / a3
- t1 = 13.33m/s / a , t3 = 13.33m/s / a
- t1 = t3 = t
Como sabemos :
- t1 + t2 + t3 = 120s
- t + t2 + t = 120s
- 2*t + t2 = 120s
Sustituimos ecuación 2) en la ecuación anterior:
- 2*t + d / 13.33m/s = 120s
- d / 13.33m/s = 120s - 2*t
- 6) d = 1600m - 26.67m/s * t
Igualamos ecuacion 6) y ecuacion 1)
- 0.5 * a * t² = 1600m - 26.67m/s * t
- 0.5 * a * t² = 1600m - 26.67m/s * t ===>a=13.33/t
- 0.5 * 13.33m/s / t * t² = 1600m - 26.67m/s * t
- 6.67m/s * t = 1600m - 26.67m/s * t
- 33.33m/s * t = 1600m
- t = 48s
Para hallar t2 usamos el dato:
- t1 + t2 + t3 = 120s
- t + t2 + t = 120s
- 48s + t2 + 48s = 120s
- 96s + t2 = 120s
- t2 = 24s
De la ecuacion 6) hallamos la incognita "d":
- d = 1600m - 26.67m/s * t
- d = 1600m - 26.67m/s * 48s
- d = 320m
Entonces la distancia entre la estación A y la estación B es igual al valor de "d" multiplicado por 3
- D = 3*d
- D = 3* 320m
- D = 960m