Question

Temática:

- Evaluar el siguiente límite

- Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma 0/0

- Calcular el siguiente límite al infinito

- Evaluar el siguiente límite trigonométrico

Answer 1

Para resolver estos ejercicios de límite vamos a empezar por el primer ejercicio:

1)$\lim_{n \to 2} \frac{x^{2}+5x-2+\sqrt{x}-3\sqrt[8]{x}   }{x}$

Tenemos varios indicios de que este límite existe:

-El denominador no tiende a cero.

-Nos solicitan el límite con x tendiendo a 2, un número positivo con lo que las raíces son reales.

-La función numerador haciendo esa salvedad es polinómica, y las funciones polinómicas están definidas para todos los reales siempre.

Lo resolvemos:

$\lim_{n \to 2} \frac{x^{2}+5x-2+\sqrt{x}-3\sqrt[8]{x}   }{x} = \frac{2^{2}+5.2-2+\sqrt{2}-3\sqrt[8]{2}   }{2} = \frac{4+10-2+\sqrt{2}-3\sqrt[8]{2} }{2}  = \frac{12+\sqrt{2}-3\sqrt[8]{2}}{2}$

Como vemos el límite existe y es finito.

2) Para hallar este límite aplicamos la propiedad de diferencia de cuadrados por la cual:

$a^{2} -b^{2}  = (a+b)(a-b)$

La aplicamos en el límite:

$\lim_{n \to 9} \frac{x^{2} -81}{\sqrt{x} -3} =  \lim_{n \to 9} \frac{(x+9)(x-9)}{\sqrt{x} -3}$

La volvemos a aplicar al término (x-9):

$\lim_{n \to 9} \frac{(x+9)(\sqrt{x}+3 )(\sqrt{x}-3 )}{\sqrt{x} -3} = \lim_{n \to 9} (x+9)(\sqrt{x}+3 ) = (9+9)(\sqrt{9}+3 ) = 18.6 = 108$

Respuesta: El límite existe y es 108

3) En este caso queda una indeterminación de tipo infinito sobre infinito. Existen dos formas de resolverlo, una es aplicar la regla de L'Hopital, consistente en derivar numerador y denominador tantas veces como sea necesario hasta obtener un límite determinado. Otra es la siguiente:

$\lim_{n \to \infty} \frac{3x^{2}+4x+5 }{x^{2}+8x-20} = \lim_{n \to \infty} \frac{3x^{2}+4x+5 }{x^{2}+8x-20} .\frac{x^{2} }{x^{2} }$

Ahora lo que hacemos con esto es dividir en el numerador y denominador cada término por $x^{2}$:

$\lim_{n \to \infty} a_n \frac{3+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2} }  }{1+\frac{8}{x}-\frac{20}{x^{2} }  }$

Ahora todos los términos que tengan a x en el denominador van a tender a cero cuando x tienda a infinito por lo que nos queda:

$\lim_{n \to \infty} a_n \frac{3+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2} }  }{1+\frac{8}{x}-\frac{20}{x^{2} }  } =  \lim_{n \to \infty} \frac{3}{1} = 3$

Respuesta: El límite existe y es 3

4) Este es un límite trigonométrico, lo que podemos hacer es distribuir la división en primer lugar:

$\lim_{n \to 0} \frac{x+tan(x)}{sin(x)} =  \lim_{n \to 0} \frac{x}{sin(x)} +  \lim_{n \to 0} \frac{tan(x)}{sin(x)}$

Una identidad que conocemos es:

$\lim_{n \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1$

Con la que podemos aplicar la propiedad de la función potencial al primer término:

$\lim_{n \to 0} \frac{x}{sin(x)} = \lim_{n \to 0} (\frac{x}{sin(x)})^{-1} = (1)^{-1} = 1$

Ahora analizamos el otro término:

$\lim_{n \to 0} \frac{x+tanI(x)}{sin(x)} = 1 +  \lim_{n \to 0} \frac{tan(x)}{sin(x)} \\ \lim_{n \to 0} \frac{x+tanI(x)}{sin(x)} = 1+ \lim_{n \to 0} \frac{\frac{sin(x)}{cos(x)} }{sin(x)} = 1 +  \lim_{n \to 0} \frac{1}{cos(x)} = 1+1 = 2$

Respuesta: El límite existe y es 2