Question

Halle el número de bits B, para cuantizar una señal muestreada que cambia entre -5V y 5V, y tiene un error rms de σ=3m V

Answer 1

Para elegir correctamente la resolución de la cuantificación digital, primero debemos hallar la resolución mínima que debemos tener para minimizar el ruido de cuantificación. El ruido de cuantificación, es aquel que se produce durante la digitalización, ya que allí se establecen niveles de cuantificación y el nivel de la señal analógica es igualado al de cuantificación más próximo. La resolución es la distancia entre dos niveles de cuantificación contiguos, si consideramos cuantificación uniforme. En efecto este error es:

$e(n) = x_{q}(n) - x(n).$

Donde xq(n) es la secuencia de muestras de amplitud discretas que entrega el cuantificador, y x(n), la secuencia de muestras continuas a la entrada del mismo. La resolución es:

$R = \frac{S}{2^{B} }$

Que es el rango total de la señal que va a entrar al cuantificador dividido por la cantidad de niveles que este tiene que es $2^{B}$ siendo B la cantidad de bits del conversor. Esto nos da la distancia entre dos niveles de cuantificación contiguos, por ende se puede decir que el ruido de cuantificación está acotado a este valor y varía entre -R/2 y R/2, su valor RMS que es su desvío estándar es:

$e_{rms} = \sqrt{\int\limits^\frac{R}{2} _\frac{-R}{2} {e^{2}p(e) } \, de } = \sqrt{\frac{1}{R} \int\limits^\frac{R}{2} _\frac{-R}{2} {e^{2} } \, de }=\sqrt{\frac{1}{R} \frac{R^{3} }{12} } = \frac{R}{2\sqrt{3} } = \sqrt{3}\frac{R}{6}$

Reemplazando con lo que nos da el problema:

$3mV = \sqrt{3} \frac{R}{6}  => R = \frac{6.3mV}{\sqrt{3}} = 10,4mV$

La resolución tiene que ser de 10,4mV al ser esa la amplitud del error, el rango de la señal como es entre -5V y 5V es 10V. Recordamos la expresión de la resolución:

$R = \frac{S}{2^{B} } \\2^{B} = \frac{S}{R} \\B = log_{2}(\frac{S}{R} ) = log_{2}(\frac{10V}{10,4mV} ) = log_{2} 962 = \frac{log(962)}{log(2)} = 9,91 bits.$

El número de bits tiene que ser entero y siempre se redondea hacia arriba.

Respuesta: Se necesitan al menos 10 bits para cuantificar la señal solicitada con un error rms de 3mV.