Dos automóviles A y B se mueven a la misma velocidad constante de 20 m/s. El auto A 10 m detrás del B. El auto B frena disminuyendo su velocidad a razón de 2 m/s2 . Dos segundos más tarde el conductor del automóvil A se da cuenta del posible choque y pisa el freno, disminuyendo su velocidad a razón de X m/s2 . Determinar el valor de la mínima aceleración (x) para evitar el choque.
Respuestas
El valor de la mínima aceleración para evitar el choque es a = 2.91 m/s²
Primero se determina la posición de ambos automóviles y la velocidad del automóvil B a los dos segundos después que el dicho automóvil piso el freno:
El automóvil A se mueve a velocidad constante es decir MRU:
- V = d / t
- d = V * t
- d = 20m/s * 2s
- d = 40m
El automóvil B se mueve disminuyendo su velocidad es decir MRUV:
- d = Vo * t - (1/2) * a * t²
- d = 20m/s * 2s - 0.5 * 2m/s² * 4s²
- d = 40m - 4m
- d = 36m
Se observa que después de dos (2) segundos ahora los automóviles están separados 6m.
- Vf = Vo - a * t
- Vf = 20m/s - 2m/s² * 2s
- Vf = 16m/s
Planteamos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, en el momento que los automóviles chocan. Incognitas: tc, dB, dA, a,
Si llamamos la distancia recorrida por el automóvil B, después de los 2 segundos hasta el momento del choque como "dB", entonces:
- 1) dA= 6m + dB
Usamos la siguiente ecuación de MRUV para cada automóvil, donde "tc": tiempo transcurrido desde que el automóvil A comenzó a frenar hasta el momento del choque. "a": aceleración mínima de frenado para que el automóvil A se detenga justo antes de chocar
- d = Vo * t - (1/2) * a * t²
- 2) dA = 20m/s * tc - 0.5 * a * tc²
- dB = 16m/s * tc - 0.5* 2m/s²* tc²
- 3) dB = 16m/s * tc - 1m/s²* tc²
- VfA = Vo - a * tc
- 0 = 20m/s - a * tc
- 4) a = 20m/s / tc
Sustituimos la ecuación 1) en la ecuación 2) e igualamos la ecuación 2) y la ecuación 3):
- 16m/s * tc - 1m/s²* tc² = 20m/s * tc - 0.5 * a * tc² - 6m
- 5) 1m/s²* tc² + 4m/s * tc - (0.5 * a * tc²) - 6m = 0
Sustituimos ecuación 4) en ecuación 5):
- 1m/s²* tc² + 4m/s * tc - (0.5 * 20m/s / tc * tc²) - 6m = 0
- 1m/s²* tc² + 4m/s * tc - 10m/s * tc - 6m = 0
- 1m/s²* tc² - 6m/s * tc - 6m = 0 ===> Resolvemos Ec. cuadrática:
- tc = 6.87s
Para hallar la aceleración mínima sustituimos el valor de tc en la ecuación 4):
- a = 20m/s / tc
- a = 20m/s / 6.87s
- a = 2.91 m/s²