Question

1. Un dispositivo de cilindro-émbolo contiene 0.25 kg de aire, en un principio a 1.5 MPa y 375°C. Primero se expande el aire isotérmicamente hasta un valor igual a 537 kPa. Después, el mismo gas se comprime en un proceso politrópico con un exponente politrópico de 1.4, hasta la presión inicial; por último, se comprime a presión constante hasta llegar a la temperatura inicial. Con base en esta información realice los siguientes pasos:

a. Investigue la ecuación de trabajo que aplicaría en cada uno de los pasos.

b. Calcular el trabajo para cada uno de los procesos usando en cada caso la ecuación seleccionada.

c. Calcular el trabajo neto del ciclo que realiza el gas, para este paso solo se requiere sumar el trabajo calculado en cada uno d ellos procesos anteriores.

Answer 1

Para empezar a resolver vamos a identificar los tres procesos que intervienen:

• Un proceso isotérmico.
• Un proceso politrópico con $\gamma=1,4$ lo que lo convierte en un adiabático reversible.
• Un proceso isobárico.

a) Ahora que tenemos los tres procesos podemos hallar las ecuaciones de trabajo. En un isoterma la temperatura no varía, tenemos que:

$pV=nRT$

y la primera ley de la termodinámica que dice que la variación de energía interna es la diferencia entre el trabajo y el calor añadido:

$dU = Q - W$

Como ni la temperatura ni la masa varían no hay variación de cantidad de calor:

$dU=W$.

Tenemos que:

$dW = Fdr = PAdr = PdV\\W=\int\limits^{V2}_{V1} {P} \, dV$

De la ecuación de gases ideales sacamos que:

$pV=nRT = C\\P=\frac{nRT}{V}$

Reemplazando:

$W=\int\limits^{v1}_{v2} {P} \, dV =\int\limits^{v1}_{v2} {\frac{nRT}{V} } \, dV=nRT\int\limits^{v1}_{v2} { \frac{dV}{V}}= nRTln(\frac{v_{2} }{v_{1} } )$

En función de las presiones es:

$P_{1} V_{1} =P_{2} V_{2}\\\frac{P_{1}}{P_{2}} =\frac{V_{2}}{V_{1}}$

$W=nRTln(\frac{P_{1} }{P_{2}} )$

En el segundo proceso, estamos en presencia de un proceso adiabático reversible donde:

$PV^{\gamma} =C$

El trabajo aquí es:

$P=\frac{C}{V^{\gamma} } \\W=\int\limits^{V3}_{V2} {P} \, dV =C\int\limits^{V3}_{V2} {V^{-\gamma}  } \, dV = C(\frac{V2^{1-\gamma}-V1^{1-\gamma}  }{1-\gamma } )$

Como sabemos que:

$C=PV^{\gamma}$

Reemplazamos:

$W=(\frac{P_{3} V3^{\gamma}V3^{1-\gamma}-P_{2} V2^{\gamma}V2^{1-\gamma} }{1-\gamma}  ) = \frac{P_{3}V_{3}-P_{2}V_{2} }{1-\gamma}$

Reemplazamos con la fórmula de los gases ideales:

$W=\frac{nRT_{3}-nRT_{2} }{1-\gamma} =nR\frac{T_{3}-T_{2}}{1-\gamma}$

En el último proceso el cual es una isobara, tenemos que:

$PV=nRT\\P = \frac{nRT}{V} = C$

Calculamos el trabajo:

$W = \int\limits^{V4}_{V3} {P} \, dV = P\int\limits^{V4}_{V3} {} \, dV= P (V_{4}-V_{3} )$

tenemos que:

$V=\frac{nRT}{P}$

Reemplazando nos queda:

$W=nR(T_{4} -T_{3})$

b) Ahora calculamos el trabajo recordando las ecuaciones:

Proceso isotérmico: $W_{1}= nRTln(\frac{P_{1}}{P_{2}} )$

La temperatura inicial en kelvins es 375°C+273 = 648K

La masa molar del aire es 29g/mol, con lo que:

$n=\frac{250g}{29g/mol} =8,62mol.$

Y la constante R:

$R=8,31\frac{m^{3}Pa }{K.mol}$

Reemplazando:

$W=8,62mol.8,31.648K.ln(\frac{1500kPa}{537kPa} )= 47681J$

En cuanto a la adiabática recordamos la ecuación de trabajo:

$\frac{W=nR(T_{3}-T_{2})}{1-\gamma}$

Como es un proceso adiabático reversible:

$P_{3}V_{3}^{\gamma} =P_{2}V_{2}^{\gamma} \\\frac{P_{3}}{P_{2}} = (\frac{V_{2}}{V_{3}})^{\gamma}=(\frac{nRT_{2}}{nRT_{3}}\frac{P_{2}}{P_{3}} )^{\gamma}\\(\frac{P_{3}}{P_{2}})^{\gamma+1} =(\frac{T_{2}}{T_{3}})^{\gamma}$

Reemplazando:

$(\frac{1500}{537})^{\gamma+1}=(\frac{T_{2}}{T_{3}})^{\gamma}\\11,767=(\frac{T_{2}}{T_{3}})^{\gamma}\\\frac{T_{2}}{T_{3}}=\sqrt[1,4]{11,767} =5,818\\T_{3} =648K/5,818=111K$

Queda:

$W_{2}=8,62mol.8,31\frac{111K-648K}{1-1,4} =  96166J$

Por último tenemos la isobara cuya expresión de trabajo es:

$W_{3}=nR(T_{4}-T_{3}) = 8,62mol.8,31(111K-648K)=-38466J$

Lo que significa que en este último proceso debemos aplicarle energía para que vuelva a las condiciones iniciales, si graficamos las curvas de los 3 procesos veremos que forman un bucle y el área dentro de él es el trabajo realizado.

c) Para hallar el trabajo neto del ciclo tenemos que hacer la sumatoria de los trabajos de todos los procesos:

$W_{TOT}=W_{1}+W_{2}+W_{3}=47681J + 96166J - 38466J = 105381J$