Question

1.a. Límites. El voltaje de carga de un capacitor en un circuito alimentado por una fuente DC viene dado por la siguiente expresión v(t)=12(1-e^(-0.1t) ) donde v representa el voltaje del capacitor en Voltios, y t representa el tiempo en segundos. a) Determine el voltaje del capacitor al momento de encender el circuito. b) Calcule el voltaje del capacitor a los 30 segundos de encendido el circuito. c) ¿Qué ocurre con el voltaje del capacitor cuando el tiempo crece indefinidamente? 1.b. Continuidad En un circuito eléctrico es necesario garantizar que el voltaje de alimentación sea continuo. El voltaje del circuito está dado por la siguiente función: v(t)={■(t^2+2-a&si 06)┤ Calcule los valores de a y b que hacen que el voltaje sea continuo.

Answer 1

1)Pasando en limpio la ecuación del capacitor, esta es:

$v(t)=12V(1-e^{-0,1t} )$

a) Para esto basta con reemplazar t por 0 segundos que es el momento en que se enciende el circuito.

$v(0) = 12V(1-e^{-0,1.0} ) = v(0) = 12V(1-e^{0} ) = 0V$

El capacitor tiene cero voltios al momento de encender el circuito suponiendo que no tenga carga inicial.

b) A los 30 segundos de encendido el circuito tengo que:

$v(30) = 12V(1-e^{-0.1.30s} )=12V(1-e^{-3} )=12V(1-0,05) = 11,4V$

El capacitor tiene 11,4V al cabo de este tiempo.

c) Cuando el tiempo crece indefinidamente, tengo en el capacitor luego de mucho tiempo con el circuito encendido:

$v(\infty) =  \lim_{t \to \infty} 12V(1-e^{-0,1t} ) =12V\lim_{t \to \infty}(1-e^{-0,1t} ) = 12V - 12V\lim_{t \to \infty}e^{-0,1t}\\v(\infty) = 12V - 0 = 12V$

La tensión tenderá asintóticamente a 12V ya que:

$\lim_{n \to \infty} e^{-0,1t} =0$

tiende a cero asintóticamente.

2) Si queremos que el voltaje sea continuo la condición es que la función esté definida en todo el dominio, y que el límite exista en todo el dominio, en este caso el punto donde debemos garantizar esto es el de cambio de ramas ya que al ser polinómicas las dos funciones son continuas.

$\left \{ {{t^{2} +2-a, t<6} \atop {b, t\geq 6}} \right.$

Tenemos que para garantizar la continuidad debe ser:

$6^{2} +2-a = b\\36 + 2-a=b\\38-a = b\\a+b=38$

Nos queda que cualquier par de números cuya suma sea 38 garantiza la continuidad de la función en todo el dominio.