Question

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando productos notables

Answer 1

Hola:

a. $(d+e)^2=d^2+2de+e^2$

b. $(6p-2r)^2=36p^2-24pr+4r^2$

c. $(\sqrt{2} x-\sqrt{2} y)^2=2x^2-4xy+2y^2$

d. $\displaystyle{(\frac{3}{2} f+2d)^2}=\frac{9}{4} f^2+6fd+4d^2$

e. $\displaystyle{(\frac{3}{2} f-2d)^2}=\frac{9}{4} f^2-6fd+4d^2$

f. $\displaystyle{(\frac{1}{3}u-\frac{1}{2}t)^2}=\frac{1}{9} f^2-\frac{1}{3}ut+\frac{1}{4}t^2$

g. $(3a+2b+c)^2=9a^2+4b^2+c^2+2(6ab+2bc+3ac)\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=9a^2+4b^2+c^2+12ab+4bc+6ac$

h. $(x-2y^2+3z^3)^2=x^2+4y^4+9z^6+2(-2xy^2-6y^2z^3+3xz^3)\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=x^2+4y^4+9z^6-4xy^2-12y^2z^3+6xz^3$

i. $(\sqrt{5} t+\sqrt{125} u+\sqrt{5} v)^2=5t^2+125u^2+5v^2+2(\sqrt{625} tu+\sqrt{625}uv+\sqrt{25}  tv)\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=5t^2+125u^2+5v^2+2(25tu+25uv+5tv)\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=5t^2+125u^2+5v^2+50tu+50uv+10tv$

j. $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$

Aquí se usa la regla de diferencias al cuadrado. Comprobación:

$(m+n)(m-n)=m^2- mn+mn-n^2=m^2+n^2$

k. $(5x+y)(5x-y)=25x^2-y^2$

Aquí se aplica lo mismo que en j.

l. $(y-2z)(y+3z)=y^2+3yz-2yz-6z^2\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=y^2+yz-6z^2$

Aquí no se aplica la diferencia de cuadrados ya que los coeficientes no son iguales en cada variable

m. $(2y+4)(2y+3)=4y^2+6y+8y+12\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4y^2+14y+12$

n. $(2f+5)(2f-7)=4f^2-14f+10f-35\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=4f^2-4f-35$

o. $(4-4p+p^2)(4+4p+p^2)$

Acá podemos notar algo, si le damos la forma siguiente:

$(4+p^2-4p)(4+p^2+4p)$

nos damos cuenta que se asemeja a la forma de diferencia al cuadrado.

A $4+p^2$ llamémosle M, de tal manera que tenemos:

$(M-4p)(M+4p)=M^2-16p^2$ , reemplazando por su valor original:

$=(4+p^2)^2-16p^2\\=16+8p^2+p^4-16p^2\\=p^4-8p^2+16$

p. $(xy+z^2)^3=x^3y^3+z^6+3(xy)(z^2)(xy+z^2)\\~~~~~~~~~~~~~~=x^3y^3+z^6+3x^2y^2z^2+3xyz^4$

q. Lo siento, pero los exponentes que elevan a u y a v son ilegibles

r. $(2a^2+2b^2)^3=8a^6+8b^6+3(2a^2)(2b^2)(a^2+b^2)\\~~~~~~~~~~~~~~~~~=8a^6+8b^6+12a^4b^2+12a^2b^4$

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En general, no olvidar la forma del binomio al cuadrado, trinomio al cuadrado, diferencia de cuadrados y binomio al cubo.

Espero te haya ayudado. Saludos