Question

Un proyectil se lanza a una velocidad inicial de 30 m/s con un ángulo de 35° por encima de la horizontal.
a) Encuentre su posición y velocidad después de 4 seg.
b) El tiempo necesario para que alcance su altura máxima.
c) Recorrido horizontal.

Answer 1

El Tiro oblicuo se caracteriza entendiéndolos como dos movimientos superpuestos, uno que describe la componente vertical de la posición y de la velocidad que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y el que describe la componente horizontal de la posición y de la velocidad, que es un movimiento rectilíneo uniforme, se considera despreciable la resistencia del aire. Nos queda:

$\left \{ {{x=x_{0} + vi.cos(\alpha) t } \atop {y=y_{0} + vi.sen(\alpha ).t - \frac{1}{2}gt^{2}   }} \right.$

Donde xo e yo son las coordenadas de la posición inicial, vi es la velocidad inicial y α el ángulo respecto de la horizontal de esta velocidad.

Usando estas ecuaciones pasamos a resolver:

a) Para hallar la posición al cabo de 4 segundos reemplazamos en las ecuaciones anteriores la variable t por 4, g se toma como 9,8m/s2

$\left \{ {{x=xo + vi.cos(\alpha )t=30\frac{m}{s} .0,82.4s=98.4m} \atop {y=y_{0} + vi.sen(\alpha ).t - \frac{1}{2}gt^{2} }=30\frac{m}{s}.0,57.4s-4.9\frac{m}{s^{2} }.16s^{2} = -10m } \right.$

Esto quiere decir que se tomó como referencia el punto desde donde fue disparado el proyectil (por eso x0 = y0 = 0), y que al cabo de 4 segundos avanzó 98,4 metros en horizontal y se encuentra 10 metros por debajo del punto desde donde fue lanzado, esto suponiendo que puede alcanzar esa posición vertical sin tocar el suelo antes, ya que suponemos que el proyectil se detendrá al tocar tierra.

En cuanto a la velocidad, derivamos las ecuaciones de posición obteniendo:

$\left \{ {{v_{h} =v_{i}.cos(\alpha )=30\frac{m}{s} .0,82 = 24,6\frac{m}{s}  } \atop {v_{v} =v_{i}.sen(\alpha )-gt^{2} = 30\frac{m}{s} .0,57 - 9,8\frac{m}{s^{2} }.4s = -22,1\frac{m}{s} }} \right.$

Lo que significa que el proyectil ya está descendiendo (al tener una velocidad vertical negativa), de otra forma sería:

$|v| = \sqrt{24,6^{2} +22,1^{2} } =  33,1\frac{m}{s} \\\beta = arctg(\frac{-22,1}{24,6} )=-41,9°$.

Lo que significa que el proyectil desciende a 33,1m/s con un ángulo respecto a la horizontal de 41,9° hacia abajo.

Respuesta: a 98,4 metros del punto de lanzamiento y 10 metros por debajo, con una velocidad de 33,1m/s descendiendo con un ángulo de 41,9° respecto a la horizontal

b) lo que hacemos es derivar la ecuación de la posición vertical:

$y = y_{0} + v_{i}.sen(\alpha )t  - \frac{1}{2}gt^{2} \\\frac{dy}{dt} = vi.sen(\alpha ) -gt$

y la igualamos a cero

$v_{i}.sen(\alpha ) -gt_{m}  = 0\\v_{i}.sen(\alpha ) = gt_{m} \\t_{m} =  \frac{v_{i}.sen(\alpha )}{g} = \frac{30.0,57}{9,8} =   1,74s$.

Respuesta: El proyectil alcanza su punto álgido al cabo de 1,74 segundos

c) El recorrido horizontal es la distancia que llega a recorrer el proyectil antes de tocar tierra. Si suponemos que el punto de lanzamiento está al mismo nivel que el de llegada, empezamos hallando el tiempo que tarda en tocar tierra:

$y=y_{o} + v_{i}.sen(\alpha )  t - \frac{1}{2}gt^{2} = 0$

haciendo la posición inicial 0:

$y=v_{i}.sen(\alpha )  t - \frac{1}{2}gt^{2} = 0\\v_{i}.sen(\alpha )  t = \frac{1}{2}gt^{2}\\v_{i}.sen(\alpha ) = \frac{1}{2}gt\\t = \frac{v_{i}.sen(\alpha ) }{\frac{1}{2}g} = \frac{30\frac{m}{s} .0,57}{4,9\frac{m}{s^{2} } } =  3.49s$

Y reemplazamos ese tiempo en la ecuación de posición horizontal:

$x = x_{0} + v_{i} .cos (\alpha )t = 0 + 30.0,82.3,49 = 85,9m.$

Respuesta, el recorrido horizontal es de 85,9 metros suponiendo que el punto de lanzamiento está a la misma altura que el de llegada.