Question

Halla la distancia del origen a cada una de las siguientes rectas:
1. 5x-7y-11=0
2. 3x-4y+25=0

Con procedimiento

Answer 1

La Distancia al origen de una recta depende de a qué punto de esta recta hagamos referencia, ya que según el punto la distancia será distinta, pero el problema podría interpretarse como la distancia mínima, que se obtiene hallando el mínimo de la Función Distancia. Empecemos por la primera recta:

$5x - 7y - 11 = 0\\-7y = 11 - 5x\\y = -\frac{11}{7} + \frac{5}{7}x.$

Como es la distancia al origen la longitud de un segmento entre este y la recta es (aplicando Pitágoras y luego operando mediante el cuadrado del binomio):

$D(x) = \sqrt{x^{2} +y^{2} } = \sqrt{x^{2} +(-\frac{11}{7}+\frac{5}{7}x  )^{2} } \\D(x) = \sqrt{x^{2} +\frac{121}{49}-\frac{110}{49}x +\frac{25}{49}x^{2}} \\D(x) =\sqrt{\frac{74}{49}x^{2} -\frac{110}{49}x+\frac{121}{49}   }$

Ahora sacamos el 49 del radical:

$D(x)=\sqrt{\frac{74}{49}x^{2} -\frac{110}{49}x+\frac{121}{49}   } = \frac{\sqrt{74x^{2} -110x + 121 }}{\sqrt{49} }  = \frac{1}{7}\sqrt{74x^{2} -110x + 121 }$.

Y nos toca derivar la función distancia, usando la regla de la cadena:

$D'(X) = \frac{7}{2\sqrt{74x^{2} -110x + 121 }} .(148x+110)$

El 7 del numerador es el 1/7 que multiplicaba a la función distancia, y se derivó primero la raíz y luego el polinomio del interior. Ahora hay que hallar el mínimo de D(X) igualandola a cero, para lo cual basta con igualar a cero el numerador:

$148x+110 = 0\\x=-\frac{110}{148}$

Esto significa que la recta está en su punto más cercano al origen cuando es X = -110/148, entonces y es:

$y= \frac{5}{7}x-\frac{11}{7}  =  \frac{5}{7}(-\frac{110}{148}) -\frac{11}{7} = \(-frac{550}{1036}) - \frac{11}{7} =-\frac{2178}{1036}$

Ahora aplicando pitágoras hallamos la distancia:

$D = \sqrt{(-\frac{110}{148})^{2} +( -\frac{2178}{1036})^{2}  } = 2.23$

La distancia al origen es 2,23

En el segundo caso hacemos lo mismo:

$3x - 4y + 25 = 0\\-4y = -25 - 3x\\y = \frac{25}{4} + \frac{3}{4} x$

Hallamos la función distancia aplicando Pitágoras para hallar la longitud de un segmento desde el origen hasta la recta:

$D(x) = \sqrt{x^{2} +y^{2} } = \sqrt{x^{2} +(\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}  )^{2} }$

Elevamos al cuadrado el binomio:

$D(x) = \sqrt{x^{2} + \frac{9}{16}x^{2} + \frac{450}{16}x + \frac{625}{16} }\\ D(x) = \sqrt{\frac{25}{16} x^{2} +\frac{450}{16}x+\frac{625}{16}  } \\D(x) = \frac{1}{4} \sqrt{25x^{2} +450x+625}$

Ahora tenemos que derivar la función para igualarla a cero y así hallar la distancia mínima, la conclusión que sacamos del caso anterior es que haciendo la regla de la cadena nos queda la derivada del polinomio sobre la raíz de este, con lo que basta con igualar a cero el numerador de la derivada de D(x) que es la derivada del polinomio.

$D'(x) = 0 => 50x + 450 = 0\\x+9 = 0\\x = -9$

Esto significa que cuando sea x = -9 la recta pasa por su punto más cercano al origen. queda que es y:

$y = \frac{3}{4}x + \frac{25}{4} =   \frac{3}{4}.(-9) + \frac{25}{4} = -\frac{27}{4} + \frac{25}{4} = -\frac{1}{2}$

Aplico Pitágoras para resolver la distancia:

$D = \sqrt{(-9)^{2} +(-\frac{1}{2} )^{2} } =\sqrt{81+\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{325}{4} } =\frac{5}{2}\sqrt{13} = 9,01$

La distancia al origen es 9,01.