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Cada mes el precio de un artículo es aumentado un 5% con respecto al precio del mes inmediatamente anterior. ¿Cuántos meses, como mínimo, deben pasar para que el precio del artículo sea mayor que el doble del precio original?
Respuestas
Tarea:
Cada mes el precio de un artículo es aumentado un 5% con respecto al precio del mes inmediatamente anterior. ¿Cuántos meses, como mínimo, deben pasar para que el precio del artículo sea mayor que el doble del precio original?
Respuesta:
16 meses completos
Explicación paso a paso:
Tratamos aquí con una progresión geométrica donde cada término (el precio del artículo a cada mes que pasa) se obtiene de multiplicar al anterior por un número llamado razón.
En este caso, la razón de la progresión se calcula con ese aumento del 5% ya que si el precio original lo representamos porcentualmente como el 100%, al aumentar un 5% al mes siguiente tenemos que el nuevo precio es del 100+5 = 105% que pasado a tanto por uno es 105÷100 = 1,05 y ello significa que el precio habrá aumentado el resultado de multiplicar el precio original por 1,05 así que este número es la razón que buscamos.
Como nos pide que el precio del artículo después de "n" meses haya duplicado el precio original podemos decir que siendo a₁ el valor del primer término de la progresión (el precio original) debe convertirse en el doble, es decir 2a₁ que será el último término de esa progresión y que represento como aₙ
Por lo tanto puedo establecer esta igualdad:
aₙ = 2a₁
Y acudo ahora a la fórmula del término general de las progresiones geométricas:
aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
Y sustituyo lo que conozco:
2a₁ = a₁ × 1,05ⁿ⁻¹ (se elimina a₁ al estar en los dos lados)
2 = 1,05ⁿ⁻¹
2 = 1,05ⁿ ÷ 1,05
2 × 1,05 = 1,05ⁿ
2,1 = 1,05ⁿ
Si elevamos 1,05¹⁵ el resultado es 2,08 es decir que no llega a 2,1 así que el valor de "n" debe ser igual a 16 para superar ese valor ya que:
1,05¹⁶ = 2,18
Deben pasar 16 meses completos como mínimo.
Saludos.