Question

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. ∫(2x+1)/(√4x+√2x) dx

Answer 1

La ecuación se integra por aplicación de las propiedades de la integral y de fórmulas de integración inmediata.

Explicación paso a paso:

$\bold{\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx}$

En primer lugar factorizamos el denominador:

$\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx =\int{\frac{2x+1}{2\sqrt{x}+\sqrt{2}\sqrt{x}}}\,dx=\int{\frac{2x+1}{(2+\sqrt{2})\sqrt{x}}}\,dx$

Se reescribe la integral, separándola en dos integrales inmediatas:

$\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx =\int{\frac{(2x+1)x^{-\frac{1}{2}}}{(2+\sqrt{2})}}\,dx \quad \Rightarrow$

$\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx =\frac{1}{2+\sqrt{2}}{\int{2x^{\frac{1}{2}}}\,dx+ \int{x^{-\frac{1}{2}}}\,dx} \quad \Rightarrow$

$\bold{\int{\frac{2x+1}{\sqrt{4x}+\sqrt{2x}}}\,dx =\frac{1}{2+\sqrt{2}}[{\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}+ 2x^{\frac{1}{2}}}]+C}$

Derivando el resultado:

$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{2+\sqrt{2}}[\frac{4}{3} \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+ 2\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}]+C \qquad \Rightarrow$

$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{2+\sqrt{2}}[2x^{\frac{1}{2}}+ x^{-\frac{1}{2}}]+C \qquad \Rightarrow$

$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{2+\sqrt{2}}[\frac{2x+1}{x^{\frac{1}{2}}}]+C \qquad \Rightarrow$

$\bold{\frac{dy}{dx} =\frac{2x+1}{(2+\sqrt{2})x^{\frac{1}{2}}}+C}$

Lo que queda comprobado.