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¿Qué volumen de agua desaloja, al arrojarla sobre el mar, una viga prismática de madera
de 5 m de longitud, 30 cm de anchura y 20 cm de altura?. Datos: densidad de la madera = 850kg/m3, densidad del agua del mar = 1,03 g/cm3
Respuestas
Respuesta:
a = 3,92 m/s²
Explicación:
Bueno, la idea de volumen desalojado por un cuerpo en un fluido es muy natural. Uno piensa en el espacio (volumen) que ocupa un cuerpo u otro fluido, y es natural pensar que ese mismo volumen (que antes ocupaba el fluido) va a parar a otro lado. Por eso, en el caso de los líquidos, sumergir un cuerpo sólido en un tanque provoca un aumento del nivel de éste. Para que entiendas más detalladamente por qué un cuerpo recibe un empuje al ser sumergido, uno sabe que la presión varía con la profundidad. Por eso, el cuerpo tiene mayor presión en su parte inferior que en la superior, y por eso la diferencia de presión genera una fuerza hacia arriba (hacia la superficie), ya que la presión es fuerza sobre área.
A partir de esta diferencia de presión se deduce que el empuje E es:
E = ρVg
Con ρ la densidad del fluido, V el volumen del cuerpo y g la aceleración de la gravedad. Si te fijas ρV es la masa del líquido desalojado por el cuerpo, y ρVg es el peso de este líquido.
Dicho todo esto:
1) Si la viga se sumergiera completamente, el volumen desalojado sería simplemente el volumen de la viga. Como este no es el caso (se puede probar como en el ejercicio 4.)), las fuerzas peso P y empuje E deben ser iguales para que la viga flote. Llamemos V' al volumen sumergido y V al volumen total. Si ρ es la densidad de la madera y ρ₀ es la densidad del agua de mar:
P = E; por lo tanto:
ρVg = ρ₀V'g
Despejando V':
V' = ρ/ρ₀ V
V es el producto de las tres dimensiones del prisma, o sea:
V = xyz = 5m 30cm 20cm = 5m 0,3m 0,2m = 0,3m³
Reemplazando:
V' = 0,3m³ ( 850kg/m³ / 1,03g/cm³ ) = 0,3m³ ( 850kg/m³ / 1030kg/m³ ) = 0,25 m³ = 250 litros
2) Según la fórmula del empuje: E = ρVg
Por definición sabemos que ρ(agua) = 1 g/cm³
Para una esfera: V = 4/3 π r³ = 4/3 π (d/2)³ = 4/3 π d³/8 = πd³/6
Donde r es el radio y d el diámetro.
Calculamos V:
V = π (26mm)³ / 6 = π (2,6cm)³ / 6 = 9,203 cm³
Luego: E = ρVg = 1 g/cm³ 9,203 cm³ 9,8 m/s² = 0,090 N
3) El peso aparente es el peso en aire menos el empuje: Pa = P - E = P - ρVg
Llamemos con subíndice ₀ al agua y ₁ al líquido desconocido. De la ecuación anterior sabemos que:
Pa + E = P, y este peso es (obviamente) el mismo para cada líquido; luego:
Pa₀ + E₀ = Pa₁ + E₁
Luego:
Pa₀ + ρ₀Vg = Pa₁ + ρ₁Vg
Despejando ρ₁:
ρ₁ = (Pa₀ - Pa₁) / Vg + ρ₀
Conocemos todo, excepto de V, pero a V lo podemos calcular a partir del agua:
Pa₀ = P - E₀ = mg - ρ₀Vg
Por lo tanto:
V = (mg - Pa₀) / ρ₀g
Reemplazando V:
ρ₁ = ρ₀ (Pa₀ - Pa₁) / (mg - Pa₀) + ρ₀ = ρ₀ [(Pa₀ - Pa₁) / (mg - Pa₀) + 1]
Reemplazando todos los valores:
ρ₁ = 1 g/cm³ [(0,735N - 0,784) / (0,1kg 9,8m/s² - 0,735N) + 1] = 1 g/cm³ [-0,2 + 1] = 0,8 g/cm³
4) Ahora hay que tener cuidado, porque el volumen desalojado no es igual que el volumen total del cuerpo, ya que sólo una parte se encuentra sumergida. Para que el cubo flote, el empuje debe ser igual al peso del cubo: P = E
Además, el peso del cubo es: P = ρVg = ρ L³ g, con ρ la densidad de la madera, y L la longitud de la arista.
El empuje es: E = ρ₀V'g, con ρ₀ la densidad del agua y V' el volumen sumergido.
El volumen sumergido es: V' = h L², con h la altura sumergida. Reemplazando todo:
ρ L³ g = ρ₀ h L² g
Despejando h:
h = L (ρ/ρ₀) = 25cm (0,8 g/cm³ / 1 g/cm³) = 20cm
La altura que sumergida más la altura no sumergida debe ser la longitud de la arista; por lo tanto:
h + h' = L
Si h' es la longitud NO sumergida:
h' = L - h = 25cm - 20cm = 5cm
5) Las fuerzas actuando sobre el corcho son el peso P (negativo hacia el fondo) y el empuje E (positivo hacia la superficie). Por la ley de Newton, sabemos:
E - P = ma; con a la aceleración. Despejando a, y reemplazando m = ρV, con ρ la densidad del corcho:
a = [E - P] / ρV = [ρ₀Vg - ρVg] / ρV = [ρ₀/ρ - 1] g = [0,6g/cm³ / 1g/cm³ - 1] 9,8m/s²
a = 3,92 m/s²
Espero que te haya servido,
Saludos :3
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