Question

Sean los vectores c ⃗= 2i+8j-16k y d ⃗=-4i-16j+32k, determine:

El ángulo entre ellos.
Si c ⃗ y d ⃗ son vectores ortogonales o no.

Explique sus resultados.

Dados los siguientes vectores: c ⃗= (5,6,7), d ⃗= (8,9,1) y e ⃗= (2,3,4) demuestre que las siguientes propiedades son falsas o verdaderas:

(c ⃗×d ⃗) ≠(d ⃗×c ⃗)
(c ⃗×d ⃗) ∙e ⃗ = c ⃗∙ (d ⃗×e ⃗)
(c ⃗×d ⃗) ×e ⃗ ≠ c ⃗× (d ⃗×e ⃗)

Explique sus resultados.

Answer 1

Sean los vectores c y d el angulo entre ellos es 166,5 ° y no son vectores ortogonales

Para determinar el angulo entre los dos vectores se puede usar el siguiente teorema:

Sean u y v, dos vectores diferentes de cero, si α es el angulo entre ellos, entonces:

                               $cos(\alpha )=\frac{u*v}{uv}$

donde  u*v es el producto punto entre los vectores u y v, y uv es producto de sus magnitudes.

Ahora dado los vectores del problema:

c=2i+8j-16k

d=-4i-16j+32k

La magnitud de los vectores son:

ΙcΙ=$\sqrt{2^2+8^2+(-16)^2}=18$

ΙdΙ=$\sqrt{4^2+(-16)^2+(32)^2}=36$

El producto punto es:

c·d=ci*di+cj*dj+ck*dk

c·d=2*4-8*16-16*32=8-126-512=-630

Por lo tanto el angulo es:

$cos(\alpha )=\frac{-630}{18*36}=\frac{-630}{648}=-0,97$

α=cos^(-1)(-0,97)=166,5°

Lo que significa que no son vectores ortogonales.

Dado los vectores:

c=5i+6j+7k

d=8i+9j+k

e=2i+3j+4k

1. (c x d)≠(d x c) esto es verdadero

Para determinar el producto cruz se procede de la siguiente manera:

sea el vector u=ai+bj+ck y v=di+ej+fk entonces el producto cruz de u y v denotado u x v es un nuevo vector defino por:

u x v= (bf-ce)i + (cd-af)j + (ae-bd)k

Entonces:

c x d=(5i+6j+7k) x (8i+9j+k)=(6*1-7*9)i+(7*8-5*1)j+(5*9-6*8)k=-57i+51j-3k

d x c= (8i+9j+k) x (5i+6j+7k)=(9*7-1*6)i+(1*5-8*7)j+(8*6-9*5)k=57i -51j+3

2. (c x d)·e=c·(d x e) es verdadero

c x d=-57i+51j-3k

(c x d)·e= (-57i+51j-3k)·(2i+3j+4k)=-114+153-12=27

d x e= (9*4-1*3)i+(1*2-8*4)j+(8*3-9*2)k=33i-30j+6k

c·(d x e)=(5i+6j+7k)·(33i-30j+6k)=165-180+42=27

3. (c x d)x e≠c x (d x e) esto es verdadero

c x d=-57i+51j-3k

(c x d)x e= (-57i+51j-3k)x(2i+3j+4k)=(51*4+3*3)i+(-3*2+57*4)j+(-57*3-51*2)k=213i+222j-273k

c x (d x e)=(5i+6j+7k)x(33i-30j+6k)=(6*6+7*30)i+(7*33-5*6)j+(5*(-30)-6*33)k=246i +201j -348k