Question

Juan sabe que tiene entre 100 y 150 videojuegos. Si los agrupa de 4 en 4, de 5 en 5 o de 6 en 6, sobran siempre tres videojuegos. ¿Cuántos videojuegos tiene Juan?

Answer 1

Respuesta: Juan tiene 123 videojuegos.✔️

Explicación paso a paso:

Vamos a llamar V al número de videojuegos que tiene Juan

Vamos a indicar con el exponente ᶬ que un número es múltiplo de la base.

Nos dicen que si agrupa los videojuegos de 4 en 4 le sobran 3

Esto se puede expresar como V = 4ᶬ + 3

Nos dicen que si agrupa los videojuegos de 5 en 5 le sobran 3

Esto se puede expresar como V = 5ᶬ + 3

Nos dicen que si agrupa los videojuegos de 6 en 6 le sobran 3

Esto se puede expresar como V = 6ᶬ + 3

Hay una propiedad de los múltiplos que dice que si un número es múltiplo de dos o más números, entonces es múltiplo del mínimo común múltiplo de esos números.

Resumiendo, tenemos

V = 4ᶬ + 3

V = 5ᶬ + 3

V = 6ᶬ + 3

Como el número buscado es múltiplo de 4, 5 y 6, más 3 unidades, entonces será múltiplo del mínimo común múltiplo de estos números, más 3 unidades:

V = [M.C.M.(4, 5, 6)]ᶬ + 3

factorizamos estos números

4 = 2²

5 = 5

6 = 2×3

El mínimo común múltiplo de estos números es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:

El mínimo común múltiplo de 4,5,6 = 2²×5×3 = 60

V = 60ᶬ + 3 => el número de videojuegos debe ser múltiplo de 60 + 3 unidades

Los números de videojuegos que cumplen las condiciones son de la manera:

V = n×60 + 3 siendo n∈ℕ

posibilidades

V₁= 1×60 + 3 = 63 videojuegos como el enunciado dice que el número de videojuegos está entre 100 y 150 videojuegos descartamos este resultado.

V₂ = 2×60 + 3 = 123 videojuegos, como el enunciado dice que el número buscado está entre 100 y 150 videojuegos, esta es la solución.

Respuesta: Juan tiene 123 videojuegos.✔️

Verificación

V₂ = 123 videojuegos de 4 en 4 sobran → 123(mod 4) = 3, sobran 3✔️

[123/4 = 30,... ]  ,  [30×4 = 120]  ,  [123-120 = 3]

V₂ = 123 videojuegos de 5 en 5 sobran → 123(mod 5) = 3, sobran 3✔️

[123/5 = 24,... ]  ,  [24×5 = 120]  ,  [123-120 = 3]

V₂ = 123 videojuegos de 6 en 6 sobran → 123(mod 6) = 3, sobran 3✔️

[123/6 = 20,... ]  ,  [20×6 = 120]  ,  [123-120 = 3]

Queda comprobado que este número cumple las condiciones.

$\textit{\textbf{Michael Spymore}}$