Respuestas
Para poder resolver este ejercicio, simplemente debemos ver lo siguiente
El incremento de una función en un intervalo es la diferencia de la función evaluada en los extremos del intervalo
Es decir, dado x y Δx, el incremento de una función en el intervalo [x, x + Δx] es f(x+Δx) - f(x)
En el caso de f(x) = x² - 4, tenemos que el incremento de esta función es
f(x + Δx) - f(x) = (x+Δx)² - 4 -x² + 4 = (x+Δx)² - x²
Si utilizamos la diferencia de cuadrados, tenemos
(x+Δx)² - x² = (x+Δx - x)(x + Δx + x) = (2x+ Δx)Δx
Sabiendo esto, ya resolvemos la tercera pregunta y podemos resolver las demás
En la primera pregunta nos piden hallar la diferencia entre x = 1 y x = -1, que es 1 - (-1) = 1 + 1 = 2, que en nuestro caso es Δx.
La segunda pregunta nos pide hallar el incremento de la función en [-1, 1] como vemos, si nos enfocamos en la ecuación de incremento x = -1 y Δx = 2, por lo que el incremento es
(2 (-1) + 2)*2 = (2-2)*2 = 0
Es decir, no hubo ningún incremento
En la última pregunta, simplemente hacemos x = 2 y Δx = 0.4, por lo que el incremento es
(2*2 + 0.4)*0.4 = 4.4*0.4 = 1.76
por lo que este es el incremento