Question

me pueden ayudar se los agradeceria mucho
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.. son ejercicios de potenciacion

Answer 1

Estos son ejercicios de aplicación de propiedades de la potenciación.

. Empezaremos por el primer ejercicio:

$Si 2^{a} = 3^{b}  calcular el valor de E=\frac{2^{a+2} +x^{a+3} }{3^{b+1} +3^{b+2} }$

En este caso se aplica la propiedad de producto de bases iguales, por la cual la multiplicación de varias potencias con la misma base es igual a una potencia cuya base es la misma y el exponente es la suma de los exponentes, queda así

$2^{a+2} = 2^{a} . 2^{2}$

$2^{a+3} = 2^{a} .2^{3}$

$3^{b+1} = 3^{b} .3^{1}$

$3^{b+2} = 3^{b}.3^{2}$

Reemplazamos en la ecuación planteada:

$E=\frac{2^{a} .2^{2} + 2^{a}.2^{3} }{3^{b}.3^{1} + 3^{b}.3^{2}   }$

Resolvemos las potencias que no tienen ni a ni b:

$E=\frac{4.2^{a} + 8.2^{a}  }{3.3^{b} +  9.3^{b} }$

Como es $2^{a} =3^{b}$ queda:

$E= \frac{4.2^{a} +8.2^{a} }{3.2^{a} +9.2^{a} }$

Ahora sacamos factor común de $2^{a}$ (recapitulando el factor común es la inversa de la propiedad distributiva y se aplica si un mismo factor multiplica a cada término, por ejemplo $a.b + a.c = a(b+c)$) en numerador y denominador:

$E=\frac{2^{a}(4+8) }{2^{a} (3+9)} = \frac{4+8}{3+9} = \frac{12}{12} = 1$

La respuesta es 1.

Segundo ejercicio:

En este caso se tiene que $3^{a-1} = 5$ con lo que aplicando la división de bases iguales por la cual el cociente de dos potencias con bases iguales es igual a una potencia con esa misma base y el exponente es la resta de los exponentes:

$3^{a-1} = \frac{3^{a} }{3^{1} }  = 5 => 3^{a} = 15$

Aplicamos lo mismo que en el ejercicio anterior:

$E=\frac{3^{a+b} + 3^{a+c} }{3^{b+1}+3^{c+1} } = \frac{3^{a}.3^{b} +3^{a} .3^{c}  }{3^{b}.3^{1} + 3^{c}.3^{1}  }$

Como es $3^{a} = 15$ queda:

$E=\frac{15.3^{b} +15.3^{c} }{3.3^{b} +3.3^{c} }$

Bueno, en el numerador podemos sacar 15 como factor común y en el denominador 3 como factor común.

$E=\frac{15(3^{b}+3^{c}  )}{3(3^{b}+3^{c}  )} = \frac{15}{3} = 5$

La respuesta es 5.

Tercer ejercicio:

$E=\frac{6.2^{m+1}+2^{m+3}  }{2^{m+1} +2^{m} }$

En este caso aplicamos la propiedad de producto de bases iguales, de forma inversa, desglosamos:

$E=\frac{6.(2^{m}.2 ) + 2^{m}.2^{3}  }{2^{m} .2 +2^{m} } = \frac{12.2^{m}+8.2^{m} }{2.2^{m} +2^{m} }$

Sacamos factor común $2^{m}$ en denominador y numerador:

$E=\frac{2^{m} (12+8)}{2^{m} (2+1)} = \frac{12+8}{2+1} = \frac{20}{3}$.

La respuesta es $\frac{20}{3}$

Cuarto ejercicio:

$E=[(\frac{1}{3} )^{-2} +(\frac{1}{4})^{-2} ]^{1/2}$

Bien, si el exponente es negativo la fracción se invierte y queda la fracción invertida elevada al mismo exponente pero positivo, queda:

$(\frac{1}{3} )^{-2} = (\frac{3}{1} )^{2}$

$(\frac{1}{4} )^{-2} = (\frac{4}{1} )^{2}$

Aplico esta propiedad:

$E=(3^{2} +4^{2} )^{1/2} = (9 + 16 )^{1/2} = 25^{1/2}$

Cuando el exponente es fraccionario, lo que se hace es sacar raíz del orden del denominador y luego elevarlo al numerador, de modo que:

$a^{\frac{b}{c}} = \sqrt[c]{x^{b} }$

Queda:

$25^{1/2} = \sqrt[2]{25} = 5.$

La respuesta es 5.

Para ampliar sobre las propiedades de la potenciación puedes consultar estos enlaces https://brainly.lat/tarea/5107146, https://brainly.lat/tarea/11065871