Question

Una moto parte del reposo, y en dos segundos consecutivos recorre 26m y 30m. Hallar el segundo en el que recorre la distancia de 46m.

Answer 1

Respuesta:

re correra 16 segundos en 46 metros

Explicación:

porq se tiene q sumar 4 veces

Answer 2

Respuesta:

Cuando sea el 12vo segundo ese tramo medirá 46 m.

t=12s

Explicación:

Este ejercicio lo proponen en Matemovil (11 de la guía) pero quise hacer la demostración partiendo de las ecuaciones clásicas. Sin embargo sí manejas la ecuación de los números de Galileo, la cual es:

$d_n= v_0 + \frac{a}{2}(2n-1)$

Puedes hacerlo desde allí. La otra más larga es como voy hacerlo yo, que igual llegas al número de Galileo, pero de esta manera puedes satisfacer tu curiosidad.

Lo importante es saber que en el ejercicio cuando dicen "segundos consecutivos" se refieren a "momentos consecutivos"  y el recorrido que mencionan no es desde el momento inicial, cuando la velocidad es cero, sino por "tramos", es decir los 26 metros es desde un momento t y otro tiempo que puede ser t+1. Aqui parte un error común al asumir que los 26 metros son desde t=0s. Noooo!!! estos 26 m son en algún intervalo de tiempo que aún no sabemos, sin embargo son en tiempo consecutivos por lo tanto:

$d_n = v_0t+\frac{1}{2}at^2 .........(1)\\\\\\d_{(n-1)}=v_0(t-1)+\frac{1}{2}(t-1)^2..........(2)$

Restamos estas dos distancias (2) y (1) para obtener el tramo de menor tamaño.

$d_n - d_{(n-1)} = v_0t+\frac{1}{2}at^2- [v_0(t-1)+\frac{1}{2}a(t-1)^2]$

Como:   $d_n-d_{(n-1)} = 26m$

$26 = v_0t+\frac{1}{2}at^2- v_0t+v_0-\frac{1}{2}a(t^2-2t+1)\\\\\\26 = v_0t+\frac{1}{2}at^2- v_0t+v_0-\frac{1}{2}at^2+at-\frac{a}{2}\\\\\\26 = v_0+at-\frac{a}{2}\\\\\\26 =v_0 + \frac{1}{2} a(2t-1)$

Como v0 = 0, y sacando a como factor común nos queda:

$52 = a(2t-1) ...........(3)$

Ahora el tramo de mayor tamaño (30m) será el próximo intervalos, por lo tanto:

$d_n = v_0t+\frac{1}{2}at^2 .........(1)\\\\\\d_{(n+1)}=v_0(t+1)+\frac{1}{2}(t+1)^2..........(4)$

Restamos estas dos distancias (4) y (1) para obtener el tramo de mayor tamaño.

$d_{(n+1)}-d_n = [v_0(t+1)+\frac{1}{2}a(t+1)^2]- v_0t+\frac{1}{2}at^2$

Como:   $d_{(n+1)}-d_n = 30m$

$30 = v_0t+v_0+\frac{1}{2}a(t^2+2t+1)-v_0t-\frac{1}{2}at^2\\\\30 = v_0t+v_0+\frac{1}{2}at^2+at+\frac{a}{2}-v_0t-\frac{1}{2}at^2\\\\30 = v_0+at+\frac{a}{2}\\\\30 =v_0 + \frac{1}{2} a(2t+1)$

Como v0 = 0, y sacando a como factor común nos queda:

$60 = a(2t+1) ...........(5)$

Ahora hacemos un sistema de ecuaciones con (3) y (5) para conocer el valor de la aceleración:

$52 = a(2t-1) ...........(3)\\60 = a(2t+1) ...........(5)$

Por sustitución despejamos a de (3)

$a=\frac{52}{2t-1}$

y reemplazamos en (5)

$60 = \frac{52(2t+1)}{2t-1} \\\\60(2t-1)=52(2t+1)\\\\120t-60=104t+52\\\\16t=112\\\\t=7$

Es decir, que en el tramo del segundo 6 al 7 se recorrio 26 m y del segundo 7 al 8 se recorrio 30m.

Ahora nos preguntan en que momento el tramo tiene una longitud de 46m. Para ello, conociendo los tiempos podemos buscar la aceleración a, de (3) o (4):

$a=\frac{52}{2(7)-1}\\\\a=\frac{52}{13}\\\\a=4 m/s^2$

Para un tramo que mida 46 m, con v0 = 0, tendriamos:

$46 = \frac{a}{2}(2t-1)\\\\ 46 = \frac{4}{2}(2t-1)\\\\23 = 2t-1 \\\\\frac{24}{2}=t\\\\ t=12$

Es decir cuando sea el 12vo segundo ese tramo medirá 46 m.

Ahora como ejercicio vamos a conocer cuanto es la distancia desde el tiempo t= 0s hasta los 12s, para que se vea la diferencia entre distancia total y los tramos.

$d=v_ot+\frac{1}{2}a^t^2\\\\d=\frac{1}{2}at^2\\\\d=\frac{4}{2}(12)^2\\\\ d=288m$