Question

Una compañía promotora encuentra que los ingresos en taquilla a nivel mundial de cierta película están dados por T(x)=(140 x^2)/(4+x^2 ) donde T(x) se mide en millones de dólares y x son los meses posteriores al lanzamiento de la película.

a. Cuál es el ingreso total al largo plazo.

b. Cuáles son los ingresos totales en taquilla al segundo mes.

c. Que tan rápido cambian los ingresos totales un mes después.

Answer 1

Los ingresos a largo plazo en taquilla a nivel mundial de cierta película, obtenidos por una compañía promotora, son 140 millones de dólares.

Explicación paso a paso:  

a. ¿Cuál es el ingreso total a largo plazo?

El ingreso total a largo plazo se calcula obteniendo el valor límite de la función  T  cuando  x  (tiempo) crece indefinidamente:

$Ingreso~total~largo~plazo= \lim_{x \to \infty} [\frac{140x^{2}}{4+x^{2}}]= \lim_{x \to \infty} [\frac{\frac{140x^{2}}{x^{2}} }{\frac{4}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}}}]=140$

Los ingresos totales a largo plazo en taquilla de la película son 140 millones de dólares.

b. ¿Cuáles son los ingresos totales en taquilla al segundo mes?

Vamos a evaluar la función T  en  x  =  2:

$\bold{T_{(2)}= \frac{140(2)^{2}}{4+(2)^{2}}]=70~millones~de~d\acute{o}lares}$

c. ¿Qué tan rápido cambian los ingresos totales un mes después?

La rapidez de cambio de los ingresos totales se calculan por medio de la función derivada:

$\frac{dT}{dx}= \frac{140*2*x*(4+x^{2})-140*x^{2}*2x}{(4+x^{2})^{2}}=\frac{1120x}{(4+x^{2})^{2}}$  

$\bold{(\frac{dT}{dx})_{1}= \frac{1120(1)}{(4+(1)^{2})^{2}}=\frac{224}{5}=44.8~millones~de~d\acute{o}lares}$