Question

Una caja de madera está sostenida por tres cables AP, BP y CP, como se muestra en la figura 1.63. El peso de la caja es de 146 kN. Determinar:


a) La tensión en los cables AP, BP y CP.

Answer 1

Primero determinemos la posición de cada punto con respecto a los ejes coordenados

A = (0, 1.65, 0)

B = (-1.5 , -0.6 , 0)

C = (1.2, -0.6, 0)

P = (0,0,-1.75)

Luego los vectores que representan las cuerdas (por cierto no las tensiones)

$\overrightarrow{PA}=(0,1.65,1.75)\\\overrightarrow{PB}=(-1.5,-0.6,1.75)\\\overrightarrow{PC}=(1.2,-0.6,1.75)$

Sean $t_1, t_2, t_3$ las tensiones de las cuerdas PA, PB, PC respectivamente entonces

$t_1\cdot\mu _{\overrightarrow{PA}}+t_2\cdot\mu _{\overrightarrow{PB}}+t_3\cdot\mu _{\overrightarrow{PC}}=(0,0,146)\\\\\text{donde \mu es el vector unitario de cada vector indicado \uparrow }\\\\T_1\overrightarrow{PA}+T_2\overrightarrow{PB}+T_3\overrightarrow{PC}=(0,0146)\\\\T_1(0,1.65,1.75)+T_2(-1.5,-0.6,1.75)+T_3(1.2,-0.6,1.75)=(0,0,146)\\\\\begin{cases}-1.5T_2+1.2T_3=0\\1.65T_1-0.6T_2-0.6T_3=0\\1.75T_1+1.75T_2+1.75T_3=146\end{cases}$

Al resolver el sistema de ecuaciones resulta

$T_1 = 2336/105 \\ \\ T_2 = 25696/945 \\ \\ T_3 = 6424/189$

Luego las tensiones son

$t_1=|\overrightarrow{PA}| T_1\\\\t_2=|\overrightarrow{PB}| T_2\\\\t_3=|\overrightarrow{PC}| T_3\\\\\\\boxed{t_1\approx53.51~kN ~~,~~ t_2\approx 64.76~kN ~~,~~ t_3\approx 74.95~kN}$