Question

Dados los vectores.
1.- u = (-2x, 4x+y) y v = (2y+4, -5)
Encontrar el ángulo que forman el vector 'u' y el vector 'v'

2-.Dados los vectores A=(3, 0, 2) B=(4, 3, ,0) y C= (8, 1, -1)
a)Demostrar que A,B y C son los vértices de un triángulo rectángulo.
b)Calcule las longitud de los lados que forma el ángulo recto.

3-.Encuentre los valores de 'k' para los cuales la distancia entre los puntos:
P1 =(2, -3, -1) y P2=(k,-3,2k) es √10.

4.- Encontrar un vector ortogonal al vector u=(1, 2, -1, 3) y que tenga norma igual a 7.

Espero me puedan ayudar de antemano gracias.

Answer 1

Pasamos a resolver cada punto:

1) Aquí estamos en el plano xy, y cada vector parte desde el origen, empezamos hallando el ángulo que describe con el eje horizontal cada uno:

$\alpha _{u} = arctg(\frac{4x+y}{-2x} )\\\alpha _{v} = arctg(\frac{-5}{2y+4} )$

Luego nos queda que el ángulo que forman es:

$\beta = \alpha _{u} - \alpha _{v}$

Según los valores de x e y que se usen va a variar el ángulo.

2)a) Dados estos vectores, nos queda hallar los lados del triángulo que serán los segmentos AB, BC y AC.

$AB = (x_{A}- x_{B}, y_{A} -y_{B}, z_{A} -z_{B} )=(-1,-3,2).\\BC = (x_{B}- x_{C}, y_{B} -y_{C}, z_{B} -z_{C} )=(-4,2,1).\\AC = (x_{A}- x_{C}, y_{A} -y_{C}, z_{A} -z_{C} )=(-5,-1,3).$

Si forman un triángulo rectángulo eso indica que uno de sus ángulos es 90°, lo que significa que hay 2 segmentos cuyo producto escalar es cero.

$AB.BC = (-1,-3,2).(-4,2,1) = 4 -6+2 = 0.$

AB y BC son perpendiculares, hemos hallado el ángulo recto.

b) Para este punto basta con aplicar pitágoras a AB y BC:

$||AB|| = \sqrt{(-1)^{2} + (-3)^{2} + 2^{2}  }=\sqrt{1+9+4} = \sqrt{14} \\||BC|| = \sqrt{(-4)^{2} + (2)^{2} + 1^{2}  }=\sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$

3) En este punto basta hallar el vector con origen en P1 y extremo en P2:

$P1P2 = (k-2,-3+3,2k+1) = (k-2,0,2k+1)$

Aplico Pitágoras:

$||P1P2|| = \sqrt{(k-2)^{2}+(2k+1)^{2}  } = \sqrt{10} \\ (k-2)^{2}+(2k+1)^{2} = 10\\k^{2} -4k+4 + 4k^{2}+4k+1 = 10\\5k^{2} + 5 = 10\\5k^{2} - 5 = 0$

Resolvemos la ecuación cuadrática:

$k = 5k = -5$

Para estos valores tengo la distancia solicitada.

4) El vector buscado se puede obtener planteando que el producto escalar de este con u es cero:

sea $v = (a, b, c, d)$

$u.v = a + 2b -c + 3d = 0$

Además debe cumplirse que:

$a^{2}+ b^{2} +c^{2} +d^{2} = 49$

Hay infinitos vectores que cumplen estas dos condiciones en simultáneo. Uno de ellos que cumple la primera ecuación es (1, 1, 0, -1), y todo vector paralelo a este cumplirá también con la condición de perpendicularidad así que creo un vector (a, a, 0, -a) siendo a un real a determinar con la condición de módulo:

$a^{2} + a^{2} +0^{2} +(-a)^{2} = 3a^{2} =49$

$a = \sqrt{\frac{49}{3} } = \frac{7}{\sqrt{3} }$

Con lo que un vector ortogonal a u (de los infinitos que existen, puede hallarse uno distinto y mientras cumpla las dos condiciones anteriores la respuesta sigue siendo correcta) y cuyo módulo es 7 es:

$v = (\frac{7}{\sqrt{3} },\frac{7}{\sqrt{3} },0,-\frac{7}{\sqrt{3} } )$