Question

El área de una región triangular ABC ES 16m2. A(1,4) y B(7,1). Si el lado BC es paralelo a la recta l=x-2y-32=0, halle las coordenadas del vértice C

Answer 1

Recordando la ecuación de un área triangular, esta es

$A=\frac{Base.Altura}{2}$

Ahora  bien, consideremos que las coordenadas cartesianas están en metros, tenemos la situación de la figura "situación inicial", en la que los puntos rojos son A y B y el lado conocido es el segmento amarillo, en tanto que en azul represento la recta x-2y-32=0, la cual se puede escribir como:

$x-2y=32\\2y=x-32\\y=\frac{x}{2}-16$

Lo que significa que la pendiente del segmento BC es de 1/2, ahora hallamos la pendiente del segmento AB

$tg(\alpha )=\frac{dy}{dx}=\frac{y_{B}-y_{A}  }{x_{B}-x_{A}  }= \frac{1-4}{7-1}=-\frac{1}{2}$

La perpendicular al segmento AB es de pendiente 2, ahora tomamos como base la longitud del lado amarillo de la figura mediante Pitágoras:

$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A}  )^{2}+(y_{B} -y_{A} )^{2}  } =\sqrt{6^{2}+(-3)^{2}  } =\sqrt{36+9}=\sqrt{45} =3\sqrt{5}$

La altura es un segmento con pendiente 2 perpendicular a la base que es AB:

$A=\frac{b.h}{2} =\frac{3\sqrt{5}h }{2}=16 \\3\sqrt{5}h=32\\ h=\frac{32}{3\sqrt{5} } =\frac{32}{15}\sqrt{5}$

Lo que acabamos de hallar es la longitud de un segmento de pendiente 2 que va desde el punto C al lado AB, este segmento está representado en rojo en el gráfico "altura", no obstante aún no conocemos su ubicación exacta.

C también está en la recta con pendiente 1/2 que pasa por B, el segmento BC está contenido en esta recta:

$y = \frac{1}{2}x+b$

Esa recta contiene a B(7,1)

$1=\frac{1}{2}.7+b \\b=1-\frac{7}{2}\\ b=-\frac{5}{2} \\y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

En el gráfico "recta segmento BC" así como en el gráfico "altura", esta recta aparece representada en naranja.

Apreciamos que la recta naranja y la recta amarilla forman con la horizontal ángulos iguales y opuestos, en ambos el módulo de la tangente es 1/2. Aplicamos la siguiente identidad:

$tg(2\alpha )=\frac{2tg(\alpha )}{1-tg^{2}(\alpha ) } =\frac{2.\frac{1}{2} }{1-\frac{1}{4} } =\frac{4}{3}$

el ángulo 2*alpha aparece graficado en el dibujo "altura", la inversa de esa tangente, da un ángulo de 53,13°, ahora tenemos que

$h=BC.sen(2\alpha )\\\frac{32}{15}\sqrt{5} = BC\frac{4}{5}\\BC=\frac{8}{3} \sqrt{5}$

En esta recta tenemos que:

$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{2} = \frac{y_{C}-y_{B} }{x_{C} -x_{B} } \\2(y_{C}-y_{B}) =x_{C} -x_{B}\\BC=\sqrt{(x_{C} -x_{B})^{2}+(y_{C} -y_{B})^{2} }= \sqrt{2(y_{C} -y_{B})^{2}+(y_{C} -y_{B})^{2} }\\BC=(y_{C} -y_{B})\sqrt{5} =\frac{8}{3} \sqrt{5}\\ (y_{C} -y_{B})=\frac{8}{3}$

Ya tenemos una coordenada de C. Según las figuras adjuntas sabemos que está por debajo del segmento AB, con lo que.

$(y_{C} -y_{B})=-\frac{8}{3}\\y_{C}=-\frac{8}{3}+1 = -\frac{5}{3}$

Ahora con la otra identidad tenemos que:

$2(y_{C}-y_{B}) =x_{C} -x_{B}\\-\frac{16}{3}= x_{C} -x_{B}\\x_{C} = x_{B}-\frac{16}{3}=7-\frac{16}{3}=\frac{5}{3}$

Nos queda que:

$C=(\frac{5}{3};-\frac{5}{3}  )$

En el gráfico "solución", coloreado en verde se ve el triángulo obtenido.

Respuesta: C=(5/3;-5/3)