Question

4. Se quiere indagar sobre el comportamiento de la población en un lugar específico, la tabla muestra la población P ( en millones) de Estados unidos desde 1960 hasta el 2000



Año Poblacion P
1960 181
1970 205
1980 228
1990 250
2000 282

a. Usar los datos de 1960 y 1970 para encontrar un modelo exponencial P1 para los datos, considerar t=0 a 1960.
b. Estimar cuando la población será 320 millones y 400 millones

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos que:

En el año 1978 la población será de 320 millones.  

En el año 1985 la población será de 400 millones.

◘Desarrollo:

Este problema atiende al criterio de curvas de crecimiento vegetativo de una población, siguiendo la Ley exponencial que se muestra a continuación:

$P=P_{0} *e^{kt}$

Donde:

P: número de individuos en el momento t.

Po: número de individuos en el momento inicial.

k: constante de crecimiento.

t: tiempo.

Dado que t se mide en años (to=1960), y la población se mide exponencialmente únicamente entre los años de 1960 y 1970, la función adecuada en este caso es la siguiente:

$P(t)=181*24^{\frac{t}{10}$

Para hallar el valor de t cuando la población es de 320 millones se despeja t de la función resultante:

$320=181\cdot \:24^{\frac{t}{10}}$

$181\cdot \:24^{\frac{t}{10}}=320$

Dividimos ambos lados de la función entre 181:

$\frac{181\cdot \:24^{\frac{t}{10}}}{181}=\frac{320}{181}$

$24^{\frac{t}{10}}=\frac{320}{181}$

Aplicamos logaritmo:

$\ln \left(24^{\frac{t}{10}}\right)=\ln \left(\frac{320}{181}\right)$

$\frac{t}{10}\ln \left(24\right)=\ln \left(\frac{320}{181}\right)$

$t=\frac{10\ln \left(\frac{320}{181}\right)}{\ln \left(24\right)}$

$t=1,792$

$t=1,8$

Para hallar t cuando hay 400 millones de habitantes aplicamos el mismo procedimiento anterior:

$400=181\cdot \:24^{\frac{t}{10}}$

$\ln \left(24^{\frac{t}{10}}\right)=\ln \left(\frac{400}{181}\right)$

$t=\frac{10\ln \left(\frac{400}{181}\right)}{\ln \left(24\right)}$

$t=2,495$

$t=2,5$