Question

Utilice la definición de la ecuación (1) para encontrar la derivada indicada.
f^' (c)=lim┬(h→0)⁡〖(f(c+h)-f(c))/h〗 (1)

1. f^' (1) si f(x)=x^2
2. f^' (2) si f(t)=(2t)^2
3. f^' (3) si f(t)=t^2-t
4. f^' (4) si f(s)=1/(s-1)

Answer 1

Los valores de las operaciones de derivadas por definición y evaluación son:

1. f(x)=x²

• f'(x) = 2x

• f'(1) = 2

2.  f(t)=(2t)²

• f'(t) = 8t

• f'(2) = 16

3.  f(t)=t² - t

• f'(t) = 2t - 1

• f'(3) = 5

4.  f(s)= 1 / s-1

• f'(s) = -1/ (s - 1)²

• f'(4)  = -1/9

Explicación paso a paso:

La derivada por definición, se resuelve usando la siguiente expresion de limite:

f'(x) = Lim (h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Para:

1. f(x)=x²

Lim (h→0)〖((x+h)² - (x²)) / h〗

Lim (h→0)〖(x²+2hx + h² - x²) / h〗

Lim (h→0)〖h(2x + h ) / h〗

Lim (h→0)〖(2x + h ) 〗Evaluamos

f'(x) = 2x

f'(1) = 2*1 = 2

2.  f(t)=(2t)² = 4t²

Lim (h→0)〖(4(t+h)² - (4t²)) / h〗

Lim (h→0)〖(4t²+8ht + 4h² - 4t²) / h〗

Lim (h→0)〖4h(2t + h ) / h〗

Lim (h→0)〖4(2t + h ) 〗Evaluamos

f'(t) = 8t

f'(2) = 8*2 = 16

3.  f(t)=t² - t

Lim (h→0)〖((t+h)²- (t + h) - (t² - t)) / h〗

Lim (h→0)〖(t²+2ht + h² - t - h - t² + t) / h〗

Lim (h→0)〖h (2t + h - 1) / h〗

Lim (h→0)〖(2t + h - 1) 〗Evaluamos

f'(t) = 2t - 1

f'(3) = 2*3 - 1 = 5

4.  f(s)= 1 / s-1

Lim (h→0)〖((1 / s + h - 1) - (1 / s-1)) / h〗

Lim (h→0)〖(s - 1 -s - h + 1 / s²+sh-2s-h+1/ h〗

Lim (h→0)〖-h /( s²-2s+sh-h+1) / h〗

Lim (h→0)〖-1/ (s²-2s+sh-h+1) 〗Evaluamos

f'(s) = -1/ (s - 1)²

f'(4) = -1 / (4 - 1)² = -1/9