Question

El cambio porcentual constante del precio de un producto se puede modelar como P (t+1) = 1,05 * P (t), donde t es el mes y P el precio.


a. ¿Cuál es el índice de variación del precio?


b. Si P(0) = 1200, ¿cuál será el precio dentro de 5 meses?

Answer 1

El índice de variación mensual del producto es de $1,05$, el precio en 5 meses es igual a  $1531,53$

El índice de variación se define como:

1. $\text{\'{I}ndice de variacion}= \frac{\text{Precio final}}{\text{Precio inicial}}$

Si tomamos como precio inicial a $P(t)$ y como precio final al precio luego de un mes,  $P(t+1)$, podemos usar la ecuación 1:

2. $\text{\'{I}ndice de variacion}= \frac{P(t+1)}{P(t)}$

Pero sabemos que $P(t+1) = 1,05\cdot P(t)$, introducimos en la ecuación 2:

$\text{\'{I}ndice de variacion}=  \frac{P(t+1)}{P(t) = \frac{1,05\cdot P(t)}{P(t)}$

Como $P(t)$ arriba y abajo en la fracción, podemos cancelarlo, y tenemos:

$\text{\'{I}ndice de variacion}= 1,05 {P(t)}$

Para calcular el precio, debemos usar la fórmula que modela el cambio del precio:

3. $P(t+1) = 1,05\cdot P(t)$

Hacemos en esta ecuación, $t= 0$:

$P(1) = 1,05\cdot P(0)$

Repetimos el proceso anterior, para $t= 1$ :

$P(2) = 1,05\cdot P(1) = 1,05\cdot (1,05\cdot P(0))$

Para $t= 2$ :

$P(3) = 1,05\cdot P(2) = 1,05\cdot (1,05\cdot (1,05\cdot P(0)))$

Para $t= 3$ :

$P(4) = 1,05\cdot P(3) = 1,05\cdot( 1,05\cdot (1,05\cdot (1,05\cdot P(0))))$

Para $t= 4$ :

$P(5) = 1,05\cdot P(4) = 1,05\cdot(1,05\cdot( 1,05\cdot (1,05\cdot (1,05\cdot P(0)))))$

Observamos algo peculiar para este modelo, y es que podemos encontrar el precio luego de $n$ meses si multiplicamos la cantidad inicial n veces por $1,05$, que es lo mismo que multiplicarlo por $1,05^n$. Aplicado para cinco meses:

$P(5) = (1,05)^5 \cdot (1200)$

$P(5) = 1531,53$