Un paracaidista hace un salto desde una altura de 4000 metros, después de cierto tiempo la fuerza de resistencia del aire va aumentando hasta cancelar la fuerza de atracción con el suelo cuando este alcanza una velocidad de 8\frac{m}{s} hacia abajo y se encuentra a una altura de 1000 metros. La ecuación que modela el movimiento del paracaidista a partir de este momento es:
\vec{x_f}=\vec{x_0}+\vec{v}t
Donde \vec{x_f} es la posición del paracaidista a lo largo del tiempo, \vec{x_0} es la posición inicial, \vec{v} es la velocidad y t es el tiempo.
Sustituye los valores del planteamiento anterior en la ecuación de movimiento y calcula en qué momento el paracaidista tocará el suelo.
Gráfica la ecuación que describe el movimiento del paracaidista
Argumenta, en 8 a 10 renglones qué tipo de movimiento describe la ecuación que obtuviste y por qué se trata de un movimiento de este tipo.
Respuestas
La velocidad con el que el paracaidista llega al suelo es de -45,2 m/seg
Explicación paso a paso:
Datos:
xo = 4000m
Vo= 8m/seg
x = 1000 m
A=0,6 m² Tomando el área mas usada de un paracaídas normal
r=1,29 kg/m³
δ =0,8 el paracaidista es menos aerodinámico que una esfera, pero más aerodinámico que un disco de frente, tomamos para el coeficiente de forma el promedio de los valores dados para estas dos formas
m= 70 kg (suponemos)
La ecuación que modela el movimiento del paracaidista a partir de este momento es:
x= xo+Vt Planteada en le problema
Inicialmente cuando el paracaidista salta estamos en presencia de un movimiento de caída libre, luego al abrir el paracaídas además del peso, actúa una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, por tanto las ecuaciones de modelan al movimiento son las siguientes:
x-xo = Vl²/2g [ln(V²-Vl²)/(Vo²- Vl²)
V² = Vl²+ (Vo²-Vl²)∧ [-2g/Vl²(xo-x)]
x: posición del paracaidista a lo largo del tiempo
xo: posición inicial
V: velocidad
t: tiempo
r: es la densidad del aire.
A: es el área de la sección transversal frontal expuesta al aire,
δ: es un coeficiente que depende de la forma del objeto
Aunque la densidad del aire varía con la altura, en este cálculo aproximado se utilizará su valor al nivel del mar de 1,29 kg/m³
Velocidad límite Vl :
Vl = √mg/k
k= r*A*δ/2
k = 1,29 kg/m³*0,6m²*0,8/2
k = 0,31 kg/m
Vl = √70kg*9,8m/seg²/0,31 kg/m
Vl = 47 m/seg
La velocidad con la que llega al suelo:
V² = (47m/seg)²+ ((8m/seg)²-(47m/seg)² )∧ [-2(9,8m/seg²(4000)/(47m/seg)²]
V = -45,2 m/seg
