Question

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando F'(x) de las siguientes funciones


Ejercicio a.
F(x)=∫_(cos⁡x)^(sen x)▒dt/(1+√(1-t))

Desarrollar mediante el primer teorema del calculo integral

Answer 1

Para poder determinar la derivada de la función, simplemente debemos referirnos al primer teorema fundamental del cálculo que dice

$F(x) = \int\limits_{f(x)}^{g(x)} {h(t)} \, dt \implies F'(x) = g'(x)h(g(x)) - f'(x)h(f(x))$

Por lo que teniendo esto claro, simplemente debemos aplicar este teorema en la integral dada, lo que da

$h(t) = \frac{1}{1+\sqrt{1-t}} = \frac{1 - \sqrt{1-t}}{1 - (1 - t)} = \frac{1-\sqrt{1-t}}{t}\\\\F(x) = \int\limits_{cos(x)}^{sin(x)} {h(t)} \, dt \implies F'(x) =  sin'(x)h(sin(x)) - cos'(x)h(cos(x)) \\\\F'(x) = cos(x)\frac{1 - \sqrt{1-sin(x)}}{sin(x)} + sin(x) \frac{1-\sqrt{1-cos(x)}}{cos(x)} \\\\F'(x)= cot(x)(1-\sqrt{1-sin(x)}) + tan(x)(1 - \sqrt{1-cos(x)})$

Que es la derivada de esta función de acumulación