Question

Las recientes tasas en porcentajes de inflación en cierto país, vienen dadas por I (t) =4t²-48t+154 donde t representa el número de años desde 2007.

a. ¿En que año la tasa de inflación será mínima?

b. ¿Cuál es la tasa mínima de inflación alcanzada?

c. Calcular la tasa de inflación en 2007, 2015 y para el año 2020.

Answer 1

La tasa mínima de inflación es alcanzada en 2013, con valor de 10%. En 2007, la tasa de inflación es de 154%, la tasa para 2015 es 26%, y la tasa de inflación para 2020 es de 206%.

Para encontrar la tasa mínima de inflación, podemos aplicar el criterio de la primera derivada a la función de inflación. Este principio consiste en derivar la función y encontrar donde esta derivada se hace cero. El punto donde esto se cumpla, es un mínimo o máximo de la función.

Apliquemos este criterio, para $l(t)$:

$\frac{dl(t)}{d t} = \frac{d}{d t}(4t^2-48t+154)$

Derivamos cada término:

$\frac{dl(t)}{d t} = (2(4t)-48)$

Y simplificamos:

1. $\frac{dl(t)}{d t} = (8t-48)$

Ahora aplicamos el criterio de la primera derivada, igualamos a cero el resultado anterior:

$(8t-48) = 0$

Despejamos t, pasando el $48$ al otro lado, sumando:

$8t = 48$

Y dividimos entre $8$

$t = \frac{48}{8} = 6$

Entonces, tenemos un mínimo o un máximo en $t = 6$. ¿Como sabemos cual de los dos? Con el criterio de la segunda derivada.

Una vez encontrada un máximo o mínimo, podemos derivar de nuevo la función, para obtener su segunda derivada. Hecho esto, evaluamos el punto que encontramos anteriormente, y dependiendo del signo sabremos si es un máximo o un mínimo. Si el numero que resulta es negativo, tenemos un máximo. Si el número es positivo, tenemos un mínimo. Apliquemos este criterio para saber si encontramos un mínimo o no.

Comenzamos calculando la segunda derivada de la función de inflación:

$\frac{d}{dt}(\frac{dl(t)}{d t}) = \frac{d}{dt}(8t-48)$

$\frac{d}{dt}(\frac{dl(t)}{d t}) = 8$

Y como es un número mayor a cero, encontramos un mínimo

Sabemos entonces que luego de seis años de $2007$, alcanzamos la mínima inflación, y como $2007+6 = 2013$, sabemos que ocurre en el $2013$.

Para encontrar el valor de la tasa mínima, usamos el valor donde sabemos que está el mínimo de la función en su definición:

$I(6) =4(6)^2-48(6)+154$

$I(6) =144-288+154$

$I(6) =10$

Para calcular las tasas en años particulares, debemos saber cuanto años pasaron desde 2007 hasta el. Comenzamos con 2007, han pasado 0 años:

$I(0) =4(0)^2-48(0)+154$

$I(0) =0-0+154$

$I(0) =154$

Ahora para 2015. Desde  2007 hasta 2015 han pasado $2015 - 2007 = 8$ años. Usamos ese valor:

$I(8) =4(8)^2-48(8)+154$

$I(8) =256-384+154$

$I(8) =26$

Ahora para el año 2020. Desde 2007 hasta 2020 han pasado $2020 - 2007 = 13$ años. Repetimos el procedimiento anterior:

$I(13) =4(13)^2-48(13)+154$

$I(8) =676-624+154$

$I(8) =206$

En la figura está el gráfico de la función de inflación, destacando el punto mínimo que encontramos.