Question

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función f(x)=|x^2-1| en el intervalo [-1, 2], en donde use una partición de n=16

Siga los siguientes pasos:
Graficar la función f(x) en Geogebra.
Tome un pantallazo de la gráfica.
Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (16) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la curva f(x).


Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 8 y n=16.

Answer 1

Utilizando el definición de la Suma de Riemann la aproximación del área bajo la curva de la función f(x) en el intervalo [-1, 2] para una partición de n = 8 y n = 16 es:

(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx = 8/3 u²

En las imágenes se puede ver la ubicación de los rectángulos (8 y 12) que representación gráfica del área bajo la curva.

Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo.  

Sea, f(x) = |x²-1| en el intervalos [-1, 2] con n = 8;

La n-ésima Suma de Riemann:

(sumatoria de i=1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx  

f(x) Se define como;

-(x²-1)   si    x²-1 < 0  El intervalo [-1, 1]

 x²-1    si    x²-1 ≥ 0  El intervalo [1, 2]

El área bajo la curva es la suma de las sumas de Riemann de los intervalos.

Para  intervalo [-1, 1]:

Calculo de Δx;

[-1, 1] siendo: a = -1, b = 1;

Δx = (b-a)/n  

Δx = (1-(-1))/n

Δx = 2/n

calculo de x_i;

x_i = a + iΔx

Sustituir;

x_i = -1 +2/n i  

x_i = -1 + 2i/n

∑ f(x_i)Δx  Sustituir;

∑ f(-1+2i/n)2/n

= ∑ [1 - (-1+2i/n)²]2/n    

Aplicar binomio cuadrado: (a+b)² = a² + 2ab + b²

= ∑[1 - (1-4i/n + 4i²/n²)]2/n    

= ∑ (1 - 1 + 4i/n - 4i²/n²)2/n    

= ∑ (4i/n - 4i²/n²)2/n    

= ∑ (8i/n²  - 8i²/n³)  

Por propiedades de sumatorias separar;

= ∑ (8i/n²)  - ∑ (8i²/n³)  

Aplicar propiedad de sumatoria: ∑ ki = k ∑i

= 8/n² ∑(i)  - 8/n³∑ (i²)

Aplicar propiedad de sumatoria: ∑ i = n(n+1)/2  

= 8/n² [n(n+1)/2  ] -  8/n³ [n(n+1)(2n+1)/6 ]

= 4/n(n+1)  - 4/3n²(2n²+3n+1)

= 4+ 4/n  - 8/3 -4/n-4/3n²

= 4/3 - 4/3n²

Aplicar limite;

$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3}-\frac{4}{3n^{2}})$

Evaluar;

$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3}-\frac{4}{3(\infty)^{2}})$

= 4/3 u²

Para  intervalo [1, 2]:

Calculo de Δx;

[1, 2] siendo: a = 1, b = 2;

Δx = (b-a)/n  

Δx = (2- 1)/n

Δx = 1/n

calculo de x_i;

x_i = a + iΔx

Sustituir;

x_i = 1 + i/n

∑ f(x_i)Δx  Sustituir;

∑ f(1+i/n)2/n

= ∑ [(1+i/n)² - 1 ]1/n    

Aplicar binomio cuadrado: (a+b)² = a² + 2ab + b²

= ∑[1 - (1+2i/n + i²/n²)]1/n    

= ∑ 0 (1 + 2i/n + i²/n² - 1)1/n    

= ∑ (2i/n + i²/n²)1/n    

= ∑ (2i/n²  + i²/n³)  

Por propiedades de sumatorias separar;

= ∑ (2i/n²)  + ∑ (i²/n³)  

Aplicar propiedad de sumatoria: ∑ ki = k ∑i

= 2/n² ∑(i)  + 1/n³∑ (i²)

Aplicar propiedad de sumatoria: ∑ i = n(n+1)/2  

= 2/n² [n(n+1)/2  ] +  1/n³ [n(n+1)(2n+1)/6 ]

= 1/n(n+1)  + 1/6n²(2n²+3n+1)

=  1 + 1/n  + 1/3 + 1/2n + 1/6n²

= 4/3 +1/n + 1/2n + 1/6n²

Aplicar limite;

$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{2}})$

Evaluar;

$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3}+\frac{1}{ \infty}+\frac{1}{2( \infty)}+\frac{1}{6( \infty)^{2}})$

= 4/3 u²

área bajo la curva = 4/3 +4/3

área bajo la curva  = 8/3 u²