Question

Mostrar que $x=e^{-2t}$ es solución de $x^{n}+4x'+4x=0$
Se trata de Ecuaciones diferenciales

Answer 1

Asumo que la ecuación es x'' + 4x' + 4x = 0

Entonces para ello tenemos un ansatz o una solución propuesta como

                                      $x=C e^{kt}$

donde C y k son constantes. Entonces sustituyamos esta propuesta en la EDO

$x=Ce^{kt}\\x'=kCe^{kt}\\x''=k^2Ce^{kt}\\\\k^2Ce^{kt}+4kCe^{kt}+4Ce^{kt}=0\\\\Ce^{kt} (k^2+4k+4)=0\\\\\text{Con C = 0 tenemos la soluci\'on trivial, entonces si C \neq 0 tenemos la ecuaci\'on}\\\text{caracter\'istica }k^2+4k+4=0\text{ cuya ra\'iz doble es }k=-2.\\\text{Como la edo es de segundo orden, debe tener dos soluciones base linealmente}\\\text{independientes, }x_1(t)=e^{-2t}~~\&~~x_2(t)=te^{-2t} ~~(*)\\ \\^{(*)}\textit{ t sale de variar la constante C}$