Question

F(x)=∫_x^(x^3)▒〖Sen〖(t〗^2)dt〗

Answer 1

Para poder resolver este ejercicio, simplemente debemos recordar la siguiente identidad trigonométrica

sin²(x) = (1 - cos(2x))/2

que nos ayudará a resolver la integral indefinida, la cual sabiendo lo anterior es:

$\int\limits {sin^2(x)} \, dx  = \int\limits {\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx = \frac{1}{2}\int\limits {} \, dx - \frac{1}{2}\int\limits {cos(2x)} \, dx = \frac{x}{2} - \frac{sin(2x)}{4} + C$

Calculando esto, simplemente debemos aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para esta integral

$F(x) = \int\limits_{x}^{x^3}{sin^2(t)}\, dt = (\frac{x^3}{2} - \frac{sin(2x^3)}{4})- (\frac{x}{2} - \frac{sin(2x)}{4})  = \frac{x(x-1)(x+1)}{2} + \frac{sin(2x)-sin(2x^3)}{4}$

Que es el resultado deseado