Question

Dados los polinomios A(x)=-5x^2+12x-4, B(x)=x-2 y C(x)=5x+4 hallar el polinomio P(x)=A(x)-B(x).C(x).

Hallar el cociente y el resto de la división del polinomio p(x)=-4x^3+8x^2-12x+10 por el polinomio q(x)=x^2-3.

Hallar el resto de la división del polinomio P(x)=-2x^4+5x^2-9 por el polinomio

Q(x)=x+2.

Encuentra el valor del número real k tal que P(x)=kx^3-3x^2+7k-3 sea divisible por Q(x)=x+1.

Factorizar los siguientes polinomios:
P(x)=
P(x) = 2x3 - x2 - 8x + 4

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsa. Justificar la respuesta.

Todo polinomio tiene raíces reales.
Un polinomio de grado 3 tiene a lo sumo tres raíces reales.
El polinomio P(x) = x2 – 4 es primo.
Todo polinomio de primer grado tiene raíces.

Answer 1

1. El polinomio resultante es:

P(x) = 10x^2 + 18x + 4

2. El resto de la división de polinomios es:

Residuo:   -21

3. El valor del numero real k es:

k = 1

4. Al factorizar el polinomio se tiene:

P(x) = =(2x-1)(x+2)(x-2)

5. Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a. Todo polinomio tiene raíces reales.

Falso, porque puede también tener raíces imaginarias.

b. Un polinomio de grado 3 tiene a lo sumo tres raíces reales.

Verdadero, el grado del polinomio determina el máximo de raíces que puede tener dicho polinomio.

c. El polinomio P(x) = x2 – 4 es primo.

Verdadero, ya que todo polinomio de primer grado es primo.

d.Todo polinomio de primer grado tiene raíces.

Falso, tiene una única raíz.

Resolución

1. Dados, A(x)=-5x^2+12x-4, B(x)=x-2 y C(x)=5x+4

P(x)=A(x)-B(x).C(x)

Aplicar la multiplicación de polinomios;

B(x).C(x) = (x-2)(5x+4)

B(x).C(x) = 5x^2 + 4x -10x -8

Agrupamos;

B(x).C(x) = 5x^2 -6x -8

P(x) = (-5x^2+12x-4)-(5x^2 -6x -8)

Quitar el paréntesis;

P(x) = -5x^2+12x-4 -5x^2 + 6x + 8

P(x) = 10x^2 + 18x + 4

2. División de polinomios P(x)/Q(x);

P(x)=-2x^4+5x^2-9

Q(x)=x+2

Dividir los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador;

-2x^4/x = -2x^3

Multiplicar -2x^3 por x+2;

-2x^4 -4x^3

Restar -2x^4 -4x^3 a -2x^4+5x^2-9;

-2x^4+5x^2-9 -( -2x^4 -4x^3) =  4x^3+5x^2-9

Residuo: 4x^3+5x^2-9

=  -2x^3 + (4x^3+5x^2-9)/x+2

Dividir los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador;

4x^3/x = 4x^2

Multiplicar 4x^2 por x+2;

4x^3 +8x^2

Restar 4x^3 +8x^2 a 4x^3+5x^2-9;

4x^3+5x^2-9 -( 4x^3 +8x^2) =  -3x^2-9

Residuo:  -3x^2-9

=  -2x^3 +4x^2+ (-3x^2-9)/x+2

Dividir los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador;

-3x^2/x = -3x

Multiplicar -3x por x+2;

-3x^2-6x

Restar -3x^2-6x a -3x^2-9;

-3x^2-9 -( -3x^2-6x) =  6x -9

Residuo:  6x -9

=  -2x^3 +4x^2-3x+ ( 6x -9)/x+2

Dividir los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador;

6x/x = 6

Multiplicar + por x+2;

6x+12

Restar 6x+12 a 6x-9;

6x-9 -(6x+12) = -21

Residuo:   -21

P(x)/Q(x) = -2x^3 +4x^2-3x+ 6 -21/x+2

3. Encontrar el valor de k, siendo  P(x)/Q(x)

P(x)=kx^3-3x^2+7k-3

Q(x) = x+1

Aplicar el teorema del resto:

P(x)/(x+1) = q(x)

P(x) = (x+1).q(x); x = -1

P(-1) = 0

Por lo tanto evaluamos;

P(-1)=k(-1)^3-3(-1)^2+7k-3 = 0

-k-3+7k-3 = 0

Agrupamos;

(-1+7)k = 3+3

Despejamos k;

6k = 6

k = 1

4. Factorizar el siguiente polinomio P(x) = 2x³ - x² - 8x + 4:

Factorizar es expresar un polinomio como el producto de polinomios de grado 1;

2x³ - x² - 8x + 4  

= (2x³ - x²)+(-8x + 4)

Factorizar:

-8x + 4

Reescribir 8 como 4 . 2

= -4 . 2x + 4

Factor común -4;

= -4(2x-1)

Factorizar:

2x³ - x²

Aplicar propiedad de los exponentes: $a^{b+c} = a^{b} a^{c}$

x³ = xx²

= x²(2x-1)

Sustituir;

= -4(2x-1) +x²(2x-1)

Sacar factor común en 2x-1;

= (2x-1)(x²-4)

Factorizar:

x²-4

Reescribir a como 2²;

= x²-2²

Aplicamos la regla del binomio cuadrado: x²-y² = (x+y)(x-y)

= (x+2)(x-2)

=(2x-1)(x+2)(x-2)