Question

f(x)= (2x+8)/x
f(x)= (7-4x)/(x-5)

1. La siguiente gráfica representa una función en los reales, de acuerdo con ella, identifique el dominio y rango de la función, además de los puntos de intersección con los ejes sí los hay: (no proponer funciones lineales, validar función, no exponencial, no logarítmica)

Answer 1

1. El dominio, el rango y la intersección con los ejes de coordenadas son:

Domf = ∀x ∈ R - {0}

Ranf = ∀ y ∈ R - {2}

eje x: (-4, 0)

2. El dominio, el rango y la intersección con los ejes de coordenadas son:

Domf = ∀x ∈ R - {5}

Ranf = ∀ y ∈ R - {-4}

Eje x: (7/4, 0)

Eje y: (0, -7/5)

Explicación:

1. Sea, $f(x) = \frac{2x+8}{x}$

El dominio para una función racional son todos los números reales excepto los que hagan cero el denominador.

     x > 0 ⇒  Domf = ∀x ∈ R - {0}

El rango es el dominio de la función inversa.

f^{-1} (x)

y = (2x+8)/x

yx = 2x+8

yx-2x = 8

x(y-2) = 8

f^{-1}: x = 8/(y-2)

y-2 > 0

Sumar 2 a ambos lados;

y-2 + 2 > 2

y > 2

Por lo tanto;

Ranf = ∀ y ∈ R - {2}

Intersección con el eje x;

y = 0

x = 8/(y-2)

Sustituir;

x = 8/(0-2)

x = -4     ⇒  (-4, 0)

2. Sea, $f(x) =\frac{7-4x}{x-5}$

El dominio para una función racional son todos los números reales excepto los que hagan cero el denominador.

x -5 > 0

Sumar 5 a ambos lados;

x -5 +5 > 5

x > 5

Domf = ∀x ∈ R - {5}

El rango es el dominio de la función inversa.

f^{-1} (x)

y = (7-4x)/(x-5)

y(x-5) = 7-4x

yx -5y +4x = 7

x(y+4) = 7 +5y

x = (7 +5y)/(y+4)

f^{-1}: x =(7 +5y)/(y+4)

y + 4 > 0

Sumar -4 ambos lados;

y + 4 -4 > -4

y > -4

Ranf = ∀ y ∈ R - {-4}

Intersección con los ejes;

x = 0

y = (7-4(0))/(0-5)

y = -7/5    ⇒  (0, -7/5)

y = 0

x = (7 +5(0))/(0+4)

x = 7/4   ⇒ (7/4, 0)