Question

Dados los dos siguientes vectores 2D, encuentre el ángulo entre ellos, luego, súmelos y halle tanto la magnitud como la dirección del vector resultante.



D. v ⃗ =(2 ,4) y w ⃗ = ( - 4, -3 )

Answer 1

Para poder determinar el ángulo entre vectores, debemos conocer lo que es el producto punto de dos vectores y saber su magnitud. El producto punto de dos vectores se define así

$\vec{v} = (v_x , v_y)\\\vec{u} = (u_x, u_y)\\\\\vec{v} \cdot \vec{u} = v_xu_x + v_yu_y$

Y la magnitud de un vector se define así

$\vec{v} = (v_x, v_y)\\\\\lVert v \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Sabiendo esto, el ángulo θ entre dos vectores v y u se obtiene de la siguiente manera

$cos (\theta) = \frac{ \vec{v}  \cdot \vec{u} }{ \lVert v \rVert \lVert u \rVert }$

Con esto, podemos calcular el ángulo entre los vectores de manera muy fácil

$\vec{v} = (2,4); \vec{w} = (-4,-3)\\\\cos(\theta) = \frac{2(-4) + 4(-3) }{\sqrt{2^2 + 4^2} \sqrt{4^2 + 3^2}} = -\frac{20}{\sqrt{20} \sqrt{25}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}\\\\\theta \approx 153.43$

Ahora bien, para sumar dos vectores simplemente debemos sumar sus componentes y la dirección se obtiene con la arcotangente de la división entre su componente y y su componente x, es decir:

$\vec{u} = \vec{v} + \vec{w} = (2 - 4, 4-3)=(-2, 1)\\\\\lVert u \rVert = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\\\\dir (u) = arctan(1/-2) \approx 153.43$

Por lo que se puede concluir lo siguiente:

• El ángulo entre los vectores es igual al ángulo que dicta la dirección de la suma de estos
• La magnitud del vector suma de estos vectores es √5