Es un triángulo rectángulo, la hipotenusa es 3 cm más larga que el cateto mayor, y este, 3cm más largo que el cateto menor ¿cuánto miden los lados? (Usar teorema de Pitágoras)
Respuestas
Respuesta:
a = 12 [cateto mayor]
b = 9 [cateto menor]
c = 15 [hipotenusa]
Explicación paso a paso:
Hola!!
Repasemos, ¿Qué nos dice el teorema de pitágoras??
"En todo triángulo rectágulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos"
En resumen, la típica ecuación: a² + b² = c²
donde: a y b son las longitudes de los catetos, y
c es la hipotenusa.
Bien, sencillo. Vayamos al problema:
Dato 1: La hipotenusa es 3cm más largo que el cateto mayor.
Llegados a este punto, nosotros desconociendo los valores de "a" y "b" (de la ecuación del inicio, es decir los catetos) podemos elegir cual de los dos representa al mayor. Para solución de este ejercicio, consideremos que "a" es el cateto de mayor longitud.
Así, del dato 1, llegamos a la siguiente igualdad:
c = a + 3............ (i)
Dato 2: "y este (haciendo referencia al cateto mayor) es 3cm más largo que el cateto menor. (es decir, "b" )
Así , del dato 2, llegamos a la siguiente igualdad:
a = b + 3 ..........(ii)
Reemplazamos (ii) en (i):
c = a + 3
c = (b+3) + 3
c = b + 6 ...... (iii)
Luego, del teorema de pitágoras: a² + b² =+ c²
De (ii): sabemos que: a = b+3
De (iii): sabemos que: c = b+6
Así que reemplazamos en el teorema de pitágoras y tendremos:
(b+3)² + b² = (b+6)²
b²+6b+9 + b² = b²+12b+36
b² - 6b - 27 = 0
(b+3)(b-9) = 0
dos posibles valores: b = -3 ; b = 9
Descartamos el valor negativo (la longitud no puede ser negativa en este caso), y así tenemos que b = 9
Luego reempalzando en (ii) y (iii) tenemos:
De (ii): a = b + 3 = 9 + 3 = 12
De (iii): c = b + 6 = 9 + 6 = 15
Por tanto, los lados del triángulo rectángulo miden:
a = 12
b = 9
c = 15
(recuerda: a y b son los catetos, y c la hipotenusa)
Saludos!!
Jeyson MG.