Question

e. Un gas ideal de 15 moles está a 57°C y ocupa un volumen de 3 L. Si la temperatura permanece constante y el volumen se triplica, determine la nueva presión y el trabajo ejercicio por el sistema en kJ (¿el trabajo es positivo o negativo?)

Answer 1

La nueva presión es 45,12atm. El trabajo ejercido por el sistema es $W = 45.20 kJ$, y es positivo.

Primero debemos calcular la presión del gas antes de que el volumen se triplique. Para eso, usaremos la Ley de gases ideales:

1. $PV = NRT$

Donde $P$ es la presión expresada en atmósferas, $V$ es el volumen que ocupa el gas expresado en litros, $N$ es el número de moles, $T$ es la temperatura expresada en la escala Kelvin, y $R$ es la constante de los gases ideales, con un valor de:

$R = 0,082 \frac{L\cdot atm}{K \cdot mol}$

Escribamos de una vez la temperatura en grados Kelvin. Para pasar de centígrados a Kelvin, sencillamente sumamos 273,15:

$57\text{°C} = 330,15 K$

Ahora, para la calcular la presión, tomamos la ecuación 1 y despejamos $P$, pasando al otro lado a $V$ dividiendo:

2. $P = \frac{NRT}{V}$

Con esto, calculamos la presión inicial del gas. Introducimos los valores que tenemos en la ecuación 2:

$P = \frac{15 \cdot 0,082 \cdot 330,15}{3}$

$P = 135,36$

Ahora calculemos la presión final. Para eso, despejar la constante $R$ de la ecuación 1, si pasamos a dividir a $RT$:

$\frac{PV}{NT} = R$

Y como es una constante universal, debe cumplirse para todo gas ideal. Por lo tanto, debe cumplirse para el estado inicial y final de nuestro problema:

$\frac{P_i V_i}{N_i T_i} = R \text{(Inicial)}$

$\frac{P_f V_f}{N_f T_f} = R \text{(Final)}$

Esto significa que:

3. $\frac{P_i V_i}{N_i T_i} = \frac{P_f V_f}{N_f T_f}}$

De la ecuación 3 podemos despejar la presión final $P_f$:

4. $N_f T_f \frac{P_i V_i}{N_i T_i V_f} = P_f$

Como la temperatura permanece constante y el numero de moles también (no estamos agregando ni quitando gas), $N_f = N_i$ $T_f = T_i$, así que:

5. $P_f = N_f T_f \frac{P_i V_i}{N_i T_i V_f} = \frac{P_i V_i}{V_f}$

Ahora, recordemos que el volumen final es el triple del volumen inicial:

$V_f = 3V_i$

Introducimos en la ecuación 5 y simplificamos:

$P_f = \frac{P_i V_i}{V_f} = \frac{P_i V_i}{3(V_i)}$

$P_f = \frac{P_i}{3}$

Calculamos que $P_i = 135,36$, así que:

$P_f = \frac{135,36}{3}atm = 45,12atm$

Y con esto calculamos la nueva presión.

Ahora, podemos usar la ecuación del trabajo para gases a temperatura constante:

$W = P_1V_1\ln(\frac{V_2}{V_1})$

Donde $W$ es el trabajo, y ln es el logaritmo natural. Tenemos todo lo necesario para calcularlo:

$W = P_1V_1\ln(\frac{V_2}{V_1}) = (135,36atm)(3 L)\ln(\frac{3(3L)}{3L})$

$W = 446.12 atm\cdot L$

Ahora, tenemos el trabajo en unidades de atmósferas por litro $atm\cdot L$, y lo necesitamos en kilojoules (kJ). Usamos el factor de conversión de estas unidades:

$1kJ = 9,869atm$

Lo usamos en el resultado del trabajo que teníamos:

$W = 446.12 atm\cdot L \cdot \frac{1kJ}{9,869atm}$

Y nos queda:

$W = 45.20 kJ$

El trabajo en este proceso es positivo.