Question

El rumor. En un pueblo de 800 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora se duplica la cantidad de personas que se enteran de el.
¿Cuántas personas lo conocen despues de 10 horas?​

Answer 1

Después de 10 horas, el rumor lo conocen 819.200 personas

Para poder determinar estas cifras, debemos primero plantear un modelo de la situación, denominemos como P_n a la cantidad de personas que saben el rumor luego de pasar n horas, entonces se sabe que

$P_n = 2 P_{n-1}$

Es decir, la cantidad de personas que conocen el rumor es el doble de la cantidad de la hora anterior, si se busca una expresión directa para P_n, se debe hacer lo siguiente

$P_n = 2P_{n-1} = 2(2P_{n-2}) = 2^2P_{n-2} = 2^2(2P_{n-3}) = 2^3 P_{n-3} = ...\\\\P_n = 2^nP_0$

Por lo que ya hemos hallado un fórmula cerrada para la cantidad de personas que conocen el rumor, ahora, hay que recordar que P_0 = 800 pues es la población del pueblo, por lo tanto

P_10 = 2^10 * 800 = 1.024*800=819.200

Es decir, luego de 10 horas 819.200 personas conocen el rumor

Answer 2

Respuesta:

800 personas.

Explicación paso a paso:

Se menciona que hay 800 personas en el pueblo, y que cada hora se duplica la cantidad de personas que conocen el rumor.

Consideremos que iniciamos con una persona; al cabo de 1 hora ya 2 personas conocerían el rumor: en 2 horas serían 4 y en 3 horas serían 8...

Aquí nos damos cuenta que crece exponencialmente, por lo tanto, las personas que conocen el rumor está dado por

P= $2^{t}$

Donde P es la cantidad de personas que conocen el rumor y T la cantidad de horas que transcurren.

Al cabo de 10 horas, 1024 personas conocerían el rumor, PERO solo hay 800 habitantes en ese pueblo, por lo tanto no pueden haber 1024 personas que conozcan el rumor, por lo tanto:

800 habitantes (todos los del pueblo) conocerán el rumor.